Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán tìm giá trị lớn nhất (GTLN) hoặc giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức. Đây là dạng bài khá thú vị và đòi hỏi chúng ta phải nắm vững kiến thức về căn bậc hai và bất đẳng thức.

Đề bài: Tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức:

\(A = \frac{3}{2^2} – \frac{1}{4} \sqrt{9 – x^2}\)

với điều kiện \(-3 < x < 3\).

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Rút gọn biểu thức và xác định các thành phần.

Đầu tiên, chúng ta hãy rút gọn biểu thức đã cho:

\(A = \frac{3}{2^2} – \frac{1}{4} \sqrt{9 – x^2}\)

\(A = \frac{3}{4} – \frac{1}{4} \sqrt{9 – x^2}\)

Để tìm GTLN hoặc GTNN của \(A\), chúng ta cần phân tích thành phần chứa biến \(x\), đó là \(\sqrt{9 – x^2}\).

Bước 2: Phân tích điều kiện của biến \(x\).

Đề bài cho điều kiện là \(-3 < x < 3\).

Từ điều kiện này, chúng ta sẽ suy ra khoảng giá trị của \(x^2\):

Vì \(-3 < x < 3\), nên khi bình phương \(x\) lên, ta được:

\(0 \le x^2 < 3^2\)

\(0 \le x^2 < 9\)

(Lưu ý: \(x^2\) luôn không âm, và giá trị nhỏ nhất của \(x^2\) là 0 khi \(x=0\)).

Bước 3: Xác định khoảng giá trị của biểu thức dưới dấu căn.

Từ \(0 \le x^2 < 9\), chúng ta sẽ xác định khoảng giá trị của \(9 - x^2\).

Nhân bất đẳng thức \(0 \le x^2 < 9\) với \(-1\), ta phải đổi chiều bất đẳng thức:

\(-9 < -x^2 \le 0\)

Cộng 9 vào tất cả các vế của bất đẳng thức:

\(9 – 9 < 9 - x^2 \le 9 + 0\)

\(0 < 9 - x^2 \le 9\)

Bước 4: Xác định khoảng giá trị của căn thức \(\sqrt{9 – x^2}\).

Vì \(0 < 9 - x^2 \le 9\), chúng ta lấy căn bậc hai của tất cả các vế (vì các vế đều không âm):

\(\sqrt{0} < \sqrt{9 - x^2} \le \sqrt{9}\)

\(0 < \sqrt{9 - x^2} \le 3\)

(Lưu ý: Dấu “=” xảy ra khi \(9 – x^2 = 9 \Rightarrow x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\)).

Bước 5: Xác định khoảng giá trị của thành phần \(- \frac{1}{4} \sqrt{9 – x^2}\).

Tiếp theo, chúng ta nhân bất đẳng thức \(0 < \sqrt{9 - x^2} \le 3\) với \(- \frac{1}{4}\).

Vì \(- \frac{1}{4}\) là một số âm, chúng ta phải đổi chiều các dấu bất đẳng thức:

\(- \frac{1}{4} \cdot 3 \le – \frac{1}{4} \sqrt{9 – x^2} < - \frac{1}{4} \cdot 0\)

\(- \frac{3}{4} \le – \frac{1}{4} \sqrt{9 – x^2} < 0\)

Bước 6: Xác định khoảng giá trị của biểu thức \(A\).

Cuối cùng, chúng ta cộng \(\frac{3}{4}\) vào tất cả các vế của bất đẳng thức:

\(\frac{3}{4} – \frac{3}{4} \le \frac{3}{4} – \frac{1}{4} \sqrt{9 – x^2} < \frac{3}{4} + 0\)

\(0 \le A < \frac{3}{4}\)

Bước 7: Kết luận về GTLN và GTNN.

Từ bất đẳng thức \(0 \le A < \frac{3}{4}\), chúng ta có thể kết luận:

• Giá trị nhỏ nhất (GTNN):

  Giá trị nhỏ nhất của \(A\) là \(0\).

  Giá trị này đạt được khi \(- \frac{1}{4} \sqrt{9 – x^2} = – \frac{3}{4}\).

  Điều này xảy ra khi \(\sqrt{9 – x^2} = 3\).

  Bình phương hai vế: \(9 – x^2 = 9\).

  \(x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\).

  Vì \(x = 0\) thỏa mãn điều kiện \(-3 < x < 3\), nên GTNN của \(A\) là \(0\), đạt được tại \(x = 0\).

• Giá trị lớn nhất (GTLN):

  Biểu thức \(A\) luôn nhỏ hơn \(\frac{3}{4}\) (tức là \(A < \frac{3}{4}\)).

  Để \(A\) đạt giá trị \(\frac{3}{4}\), thì \(- \frac{1}{4} \sqrt{9 – x^2}\) phải bằng \(0\).

  Điều này xảy ra khi \(\sqrt{9 – x^2} = 0\).

  \(9 – x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3\).

  Tuy nhiên, đề bài cho điều kiện \(-3 < x < 3\), nghĩa là \(x \ne -3\) và \(x \ne 3\).

  Do đó, biểu thức \(A\) không thể đạt đến giá trị \(\frac{3}{4}\). Nó chỉ có thể tiến gần đến \(\frac{3}{4}\) nhưng không bao giờ bằng \(\frac{3}{4}\).

  Vì vậy, biểu thức không có giá trị lớn nhất.

Vậy, biểu thức \(A\) có Giá trị nhỏ nhất là \(0\) khi \(x = 0\) và không có Giá trị lớn nhất.

Mong rằng bài giải này giúp các em hiểu rõ hơn về cách tìm GTLN, GTNN của các biểu thức có chứa căn thức. Hãy luyện tập thêm để thành thạo dạng bài này nhé!

Chúc các em học tốt!