Chào các em học sinh lớp 9!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị về tính chất chia hết. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm tất cả các cặp số nguyên dương (a, b) thỏa mãn hai điều kiện sau:

1. \(3a – 1\) chia hết cho \(b\)

2. \(3b – 1\) chia hết cho \(a\)

Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và tìm lời giải chi tiết.

Phân tích bài toán:

Điều kiện “chia hết cho” có thể được biểu diễn bằng ký hiệu chia hết. Ta có:

1. \(b \mid (3a – 1)\)

2. \(a \mid (3b – 1)\)

Vì \(a\) và \(b\) là các số nguyên dương, nên \(a \ge 1\) và \(b \ge 1\).

Trường hợp 1: \(a = b\)

Nếu \(a = b\), thay vào điều kiện thứ nhất, ta có:

\(a \mid (3a – 1)\)

Vì \(a \mid 3a\), nên để \(a \mid (3a – 1)\) thì \(a\) phải chia hết cho \(3a – 3(a)\), tức là \(a \mid -1\).

Vì \(a\) là số nguyên dương, nên \(a = 1\).

Vậy, trong trường hợp này, ta có cặp số nguyên dương \( (a, b) = (1, 1) \).

Kiểm tra lại: \(3(1) – 1 = 2\). \(2\) chia hết cho \(1\). Đúng.

Trường hợp 2: \(a \neq b\)

Giả sử \(a < b\).

Từ điều kiện \(b \mid (3a – 1)\), ta suy ra \(b \le |3a – 1|\).

Vì \(a\) là số nguyên dương, \(3a – 1\) có thể âm nếu \(a = 0\), nhưng \(a\) là số nguyên dương nên \(a \ge 1\). Do đó \(3a – 1 \ge 3(1) – 1 = 2 > 0\).

Vậy \(b \le 3a – 1\).

Ta có \(a < b \le 3a - 1\).

Bây giờ, xét điều kiện thứ hai: \(a \mid (3b – 1)\).

Vì \(a \mid 3b\) và \(a \mid (3b – 1)\), nên \(a \mid (3b – 3b + 1)\), suy ra \(a \mid 1\).

Vì \(a\) là số nguyên dương, nên \(a = 1\).

Nếu \(a = 1\), thay vào \(a < b \le 3a - 1\), ta có:

\(1 < b \le 3(1) - 1 = 2\)

Suy ra \(1 < b \le 2\). Vì \(b\) là số nguyên, nên \(b = 2\).

Vậy, ta có cặp số nguyên dương \( (a, b) = (1, 2) \).

Kiểm tra lại cặp (1, 2):

1. \(3a – 1 = 3(1) – 1 = 2\). \(2\) chia hết cho \(b=2\). Đúng.

2. \(3b – 1 = 3(2) – 1 = 5\). \(5\) chia hết cho \(a=1\). Đúng.

Vậy cặp (1, 2) là một nghiệm.

Tương tự, giả sử \(b < a\).

Từ điều kiện \(a \mid (3b – 1)\), ta suy ra \(a \le |3b – 1|\).

Vì \(b\) là số nguyên dương, \(3b – 1 \ge 3(1) – 1 = 2 > 0\).

Vậy \(a \le 3b – 1\).

Ta có \(b < a \le 3b - 1\).

Bây giờ, xét điều kiện thứ nhất: \(b \mid (3a – 1)\).

Vì \(b \mid 3a\) và \(b \mid (3a – 1)\), nên \(b \mid (3a – 3a + 1)\), suy ra \(b \mid 1\).

Vì \(b\) là số nguyên dương, nên \(b = 1\).

Nếu \(b = 1\), thay vào \(b < a \le 3b - 1\), ta có:

\(1 < a \le 3(1) - 1 = 2\)

Suy ra \(1 < a \le 2\). Vì \(a\) là số nguyên, nên \(a = 2\).

Vậy, ta có cặp số nguyên dương \( (a, b) = (2, 1) \).

Kiểm tra lại cặp (2, 1):

1. \(3a – 1 = 3(2) – 1 = 5\). \(5\) chia hết cho \(b=1\). Đúng.

2. \(3b – 1 = 3(1) – 1 = 2\). \(2\) chia hết cho \(a=2\). Đúng.

Vậy cặp (2, 1) là một nghiệm.

Kết luận:

Sau khi xét tất cả các trường hợp có thể xảy ra, chúng ta tìm được các cặp số nguyên dương (a, b) thỏa mãn yêu cầu của bài toán là:

\( (1, 1) \), \( (1, 2) \), \( (2, 1) \).

Các em có thể tự kiểm tra lại các cặp số này để chắc chắn nhé!