Chào các em học sinh, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán tìm số nguyên dương thú vị. Bài toán này liên quan đến khái niệm đồng dư thức, một công cụ rất mạnh mẽ trong lý thuyết số.

Đề bài: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất, biết rằng khi chia n cho 3, 5, 7, 13 ta nhận được các số dư tương ứng là 2, 3, 4, 7.

Phân tích bài toán:

Chúng ta có thể biểu diễn các điều kiện của bài toán dưới dạng các phép đồng dư thức như sau:

• \( n \equiv 2 \pmod{3} \)
• \( n \equiv 3 \pmod{5} \)
• \( n \equiv 4 \pmod{7} \)
• \( n \equiv 7 \pmod{13} \)

Mục tiêu của chúng ta là tìm số nguyên dương n nhỏ nhất thỏa mãn đồng thời cả bốn điều kiện này.

Phương pháp giải:

Chúng ta có thể sử dụng phương pháp “thế dần” hoặc sử dụng Định lý số dư Trung Hoa. Ở đây, chúng ta sẽ thực hiện theo cách dễ hình dung nhất.

Bước 1: Xét hai điều kiện đầu tiên:

• \( n \equiv 2 \pmod{3} \) => \( n = 3k + 2 \) với \( k \in \mathbb{Z} \)
• \( n \equiv 3 \pmod{5} \)

Thế biểu thức của \( n \) từ đồng dư thức thứ nhất vào đồng dư thức thứ hai:

\( 3k + 2 \equiv 3 \pmod{5} \)

\( 3k \equiv 3 – 2 \pmod{5} \)

\( 3k \equiv 1 \pmod{5} \)

Để giải \( 3k \equiv 1 \pmod{5} \), chúng ta có thể thử các giá trị của \( k \) hoặc tìm nghịch đảo của 3 modulo 5. Ta thấy \( 3 \times 2 = 6 \equiv 1 \pmod{5} \). Vậy nghịch đảo của 3 modulo 5 là 2.

Nhân cả hai vế với 2:

\( 2 \times 3k \equiv 2 \times 1 \pmod{5} \)

\( 6k \equiv 2 \pmod{5} \)

\( k \equiv 2 \pmod{5} \)

Vậy \( k = 5m + 2 \) với \( m \in \mathbb{Z} \).

Thay \( k \) vào biểu thức của \( n \):

\( n = 3k + 2 = 3(5m + 2) + 2 = 15m + 6 + 2 = 15m + 8 \)

Điều này có nghĩa là \( n \equiv 8 \pmod{15} \). Các số thỏa mãn hai điều kiện đầu tiên sẽ có dạng \( 8, 23, 38, 53, 68, 83, 98, 113, \dots \)

Bước 2: Xét điều kiện thứ ba:

• \( n \equiv 8 \pmod{15} \)
• \( n \equiv 4 \pmod{7} \)

Từ \( n \equiv 8 \pmod{15} \), ta có \( n = 15m + 8 \). Thay vào đồng dư thức thứ ba:

\( 15m + 8 \equiv 4 \pmod{7} \)

Chúng ta có thể đơn giản hóa \( 15 \equiv 1 \pmod{7} \) và \( 8 \equiv 1 \pmod{7} \).

\( 1m + 1 \equiv 4 \pmod{7} \)

\( m \equiv 4 – 1 \pmod{7} \)

\( m \equiv 3 \pmod{7} \)

Vậy \( m = 7p + 3 \) với \( p \in \mathbb{Z} \).

Thay \( m \) vào biểu thức của \( n \):

\( n = 15m + 8 = 15(7p + 3) + 8 = 105p + 45 + 8 = 105p + 53 \)

Điều này có nghĩa là \( n \equiv 53 \pmod{105} \). Các số thỏa mãn ba điều kiện đầu tiên sẽ có dạng \( 53, 158, 263, \dots \)

Bước 3: Xét điều kiện thứ tư:

• \( n \equiv 53 \pmod{105} \)
• \( n \equiv 7 \pmod{13} \)

Từ \( n \equiv 53 \pmod{105} \), ta có \( n = 105p + 53 \). Thay vào đồng dư thức thứ tư:

\( 105p + 53 \equiv 7 \pmod{13} \)

Chúng ta cần tìm số dư của 105 và 53 khi chia cho 13.

\( 105 = 13 \times 8 + 1 \), vậy \( 105 \equiv 1 \pmod{13} \).

\( 53 = 13 \times 4 + 1 \), vậy \( 53 \equiv 1 \pmod{13} \).

Thay vào đồng dư thức:

\( 1p + 1 \equiv 7 \pmod{13} \)

\( p \equiv 7 – 1 \pmod{13} \)

\( p \equiv 6 \pmod{13} \)

Vậy \( p = 13q + 6 \) với \( q \in \mathbb{Z} \).

Thay \( p \) vào biểu thức của \( n \):

\( n = 105p + 53 = 105(13q + 6) + 53 \)

\( n = 105 \times 13q + 105 \times 6 + 53 \)

\( n = 1365q + 630 + 53 \)

\( n = 1365q + 683 \)

Điều này có nghĩa là \( n \equiv 683 \pmod{1365} \).

Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất:

Vì chúng ta đang tìm số nguyên dương \( n \) nhỏ nhất, chúng ta sẽ chọn giá trị nhỏ nhất của \( q \) sao cho \( n > 0 \). Nếu \( q = 0 \), ta có:

\( n = 1365 \times 0 + 683 = 683 \)

Kiểm tra lại:

• \( 683 \div 3 = 227 \) dư \( 2 \) (Đúng)
• \( 683 \div 5 = 136 \) dư \( 3 \) (Đúng)
• \( 683 \div 7 = 97 \) dư \( 4 \) (Đúng)
• \( 683 \div 13 = 52 \) dư \( 7 \) (Đúng)

Kết luận:

Vậy, số nguyên dương \( n \) nhỏ nhất thỏa mãn các điều kiện đã cho là 683.

Hy vọng cách giải thích này giúp các em hiểu rõ bài toán. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!