Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán tổng hợp rất thú vị, kết hợp kiến thức về Logarit, hàm số mũ, bất đẳng thức và hình học giải tích. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm giá trị nhỏ nhất của một biểu thức khoảng cách. Nào, chúng ta cùng bắt đầu!

Đề bài: Cho các số thực \(a, b, m, n\) sao cho \(2m+n<0\) thoả mãn điều kiện:
\(\begin{cases}
\log_2(a^2+b^2+9)=1+\log_2(3a+2b) & (1) \\
9^{-m} \cdot 3^{-n} \cdot 3^{-4/(2m+n)}+\ln[(2m+n+2)^2+1]=81 & (2)
\end{cases}\)

Tính giá trị nhỏ nhất của \(\sqrt{(a-m)^2+(b-n)^2}\).

Đây là một bài toán rất hay, đòi hỏi sự phân tích kỹ lưỡng từng điều kiện. Biểu thức \(\sqrt{(a-m)^2+(b-n)^2}\) gợi ý rằng chúng ta đang tìm khoảng cách giữa hai điểm \(A(a,b)\) và \(B(m,n)\). Nhiệm vụ của chúng ta là xác định tập hợp các điểm \(A\) và \(B\) thỏa mãn các điều kiện đã cho.

Phân tích điều kiện (1):

\(\log_2(a^2+b^2+9)=1+\log_2(3a+2b)\)

Trước hết, chúng ta cần tìm điều kiện xác định cho biểu thức logarit:

1. \(a^2+b^2+9 > 0\). Điều này luôn đúng vì \(a^2 \ge 0\), \(b^2 \ge 0\), nên \(a^2+b^2+9 \ge 9\).
2. \(3a+2b > 0\). Đây là một điều kiện quan trọng mà các em cần lưu ý.

Bây giờ, chúng ta biến đổi phương trình logarit:

\(\log_2(a^2+b^2+9)=\log_2(2)+\log_2(3a+2b)\)

\(\log_2(a^2+b^2+9)=\log_2(2(3a+2b))\)

Vì hàm \(\log_2(x)\) là hàm đơn điệu tăng, ta có:

\(a^2+b^2+9=2(3a+2b)\)

\(a^2+b^2+9=6a+4b\)

Chuyển các số hạng sang một vế và hoàn thiện bình phương:

\(a^2-6a+b^2-4b+9=0\)

\((a^2-6a+9)+(b^2-4b+4)-4=0\)

\((a-3)^2+(b-2)^2=4\)

Đây là phương trình của một đường tròn \( (C) \) có tâm \(I_1(3,2)\) và bán kính \(R_1 = \sqrt{4} = 2\).

Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra lại điều kiện \(3a+2b>0\).

Khoảng cách từ tâm \(I_1(3,2)\) đến đường thẳng \(3x+2y=0\) là:

\(d(I_1, 3x+2y=0) = \frac{|3(3)+2(2)|}{\sqrt{3^2+2^2}} = \frac{|9+4|}{\sqrt{9+4}} = \frac{13}{\sqrt{13}} = \sqrt{13}\).

Vì \(\sqrt{13} \approx 3.6\) lớn hơn bán kính \(R_1=2\), và \(3(3)+2(2)=13>0\), điều này có nghĩa là toàn bộ đường tròn nằm về phía mà \(3x+2y>0\). Do đó, điều kiện \(3a+2b>0\) luôn được thỏa mãn với mọi điểm \((a,b)\) thuộc đường tròn \( (C) \).

Kết luận cho (a,b): Điểm \(A(a,b)\) thuộc đường tròn \((C)\) có tâm \(I_1(3,2)\) và bán kính \(R_1=2\).

Phân tích điều kiện (2):

\(9^{-m} \cdot 3^{-n} \cdot 3^{-4/(2m+n)}+\ln[(2m+n+2)^2+1]=81\)

Đầu tiên, biến đổi phần mũ:

\(9^{-m} \cdot 3^{-n} \cdot 3^{-4/(2m+n)} = (3^2)^{-m} \cdot 3^{-n} \cdot 3^{-4/(2m+n)}\)

\(= 3^{-2m} \cdot 3^{-n} \cdot 3^{-4/(2m+n)}\)

\(= 3^{(-2m-n – 4/(2m+n))}\)

Đặt \(k = 2m+n\). Theo giả thiết, \(k < 0\).
Phương trình (2) trở thành:

\(3^{-k – 4/k} + \ln[(k+2)^2+1] = 81\)

Bây giờ, chúng ta sẽ đánh giá từng số hạng.

Số hạng 1: \(3^{-k – 4/k}\)

Vì \(k < 0\), đặt \(x = -k\). Khi đó \(x > 0\).

Số mũ trở thành \(x + 4/x\).

Theo bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương \(x\) và \(4/x\):

\(x + 4/x \ge 2\sqrt{x \cdot (4/x)}\)

\(x + 4/x \ge 2\sqrt{4}\)

\(x + 4/x \ge 4\)

Dấu “=” xảy ra khi \(x = 4/x \Leftrightarrow x^2 = 4 \Leftrightarrow x = 2\) (do \(x>0\)).

Vậy, \(-k – 4/k \ge 4\).

Do đó, \(3^{-k – 4/k} \ge 3^4 = 81\).

Số hạng 2: \(\ln[(k+2)^2+1]\)

Vì \((k+2)^2 \ge 0\), ta có \((k+2)^2+1 \ge 1\).

Do đó, \(\ln[(k+2)^2+1] \ge \ln(1) = 0\).

Dấu “=” xảy ra khi \((k+2)^2 = 0 \Leftrightarrow k+2 = 0 \Leftrightarrow k = -2\).

Cộng hai bất đẳng thức lại, ta có:

\(3^{-k – 4/k} + \ln[(k+2)^2+1] \ge 81 + 0 = 81\).

Mà theo phương trình (2), tổng này lại bằng 81.

Điều này chỉ xảy ra khi cả hai bất đẳng thức đều đạt dấu bằng.

Tức là:

1. \(-k – 4/k = 4 \Rightarrow x=2 \Rightarrow -k=2 \Rightarrow k=-2\).
2. \(\ln[(k+2)^2+1] = 0 \Rightarrow (k+2)^2=0 \Rightarrow k=-2\).

Cả hai điều kiện đều dẫn đến \(k=-2\). Giá trị \(k=-2\) này thỏa mãn điều kiện \(k<0\).
Vậy, ta có \(2m+n=-2\).

Kết luận cho (m,n): Điểm \(B(m,n)\) thuộc đường thẳng \( (d) \) có phương trình \(2x+y+2=0\).

Tính giá trị nhỏ nhất của \(\sqrt{(a-m)^2+(b-n)^2}\):

Chúng ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của khoảng cách giữa một điểm \(A(a,b)\) trên đường tròn \( (C): (x-3)^2+(y-2)^2=2^2 \) và một điểm \(B(m,n)\) trên đường thẳng \( (d): 2x+y+2=0 \).

Khoảng cách nhỏ nhất giữa một điểm thuộc đường tròn và một điểm thuộc đường thẳng được tính như sau:

1. Tính khoảng cách từ tâm \(I_1(3,2)\) của đường tròn đến đường thẳng \( (d) \).
2. So sánh khoảng cách đó với bán kính của đường tròn.

Khoảng cách từ tâm \(I_1(3,2)\) đến đường thẳng \( (d): 2x+y+2=0 \) là:

\(D = \frac{|2(3)+1(2)+2|}{\sqrt{2^2+1^2}} = \frac{|6+2+2|}{\sqrt{4+1}} = \frac{10}{\sqrt{5}} = \frac{10\sqrt{5}}{5} = 2\sqrt{5}\).

Bán kính của đường tròn là \(R_1=2\).

So sánh \(D\) và \(R_1\):

Ta có \(D = 2\sqrt{5} \approx 2 \times 2.236 = 4.472\).

Vì \(D = 2\sqrt{5} > R_1=2\), đường thẳng không cắt đường tròn.

Giá trị nhỏ nhất của khoảng cách giữa một điểm trên đường tròn và một điểm trên đường thẳng là \(D-R_1\).

Khoảng cách nhỏ nhất \(= 2\sqrt{5} – 2\).

Vậy, giá trị nhỏ nhất của \(\sqrt{(a-m)^2+(b-n)^2}\) là \(2\sqrt{5}-2\).

Kết luận cuối cùng:

Giá trị nhỏ nhất của \(\sqrt{(a-m)^2+(b-n)^2}\) là \(2\sqrt{5}-2\).

Các em thấy đó, một bài toán có vẻ phức tạp nhưng khi chúng ta chia nhỏ nó thành các phần và phân tích từng điều kiện một cách cẩn thận, áp dụng đúng các công cụ toán học (hoàn thiện bình phương, bất đẳng thức AM-GM, công thức khoảng cách), bài toán sẽ trở nên rõ ràng và dễ giải hơn rất nhiều. Chúc các em học tốt!