Chào các em học sinh lớp 7 yêu quý!

Hôm nay, thầy/cô rất vui được cùng các em giải một bài toán thú vị liên quan đến số thập phân vô hạn tuần hoàn và các phép tính với phân số. Bài toán của chúng ta là: Tính giá trị của biểu thức: \( [ 3, (12) – 2, (5) ] : 0,14 \)

Để giải quyết bài toán này một cách chính xác, chúng ta sẽ đi từng bước một. Các em hãy chú ý theo dõi nhé!

Bước 1: Chuyển đổi các số thập phân vô hạn tuần hoàn về dạng phân số.

Đây là bước quan trọng đầu tiên. Chúng ta cần biến đổi \( 3,(12) \) và \( 2,(5) \) thành các phân số tối giản.

1.1. Chuyển đổi \( 3,(12) \)

Chúng ta có thể viết \( 3,(12) \) dưới dạng tổng của phần nguyên và phần thập phân tuần hoàn:
\( 3,(12) = 3 + 0,(12) \)

Để chuyển đổi \( 0,(12) \) sang phân số, chúng ta nhớ quy tắc: số có chu kỳ là “ab” thì sẽ được viết thành \( \frac{ab}{99} \).
Vậy, \( 0,(12) = \frac{12}{99} \).

Bây giờ, chúng ta rút gọn phân số \( \frac{12}{99} \) bằng cách chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất của chúng (là 3):
\( \frac{12 \div 3}{99 \div 3} = \frac{4}{33} \).

Tiếp theo, chúng ta cộng phần nguyên với phân số này:
\( 3,(12) = 3 + \frac{4}{33} \).
Để cộng, chúng ta quy đồng mẫu số:
\( 3 = \frac{3 \times 33}{33} = \frac{99}{33} \).
Vậy, \( 3,(12) = \frac{99}{33} + \frac{4}{33} = \frac{99 + 4}{33} = \frac{103}{33} \).

Vậy, chúng ta có: \( \mathbf{3,(12) = \frac{103}{33}} \).

1.2. Chuyển đổi \( 2,(5) \)

Tương tự, chúng ta viết \( 2,(5) \) dưới dạng:
\( 2,(5) = 2 + 0,(5) \)

Với số có chu kỳ là “a”, chúng ta có \( \frac{a}{9} \).
Vậy, \( 0,(5) = \frac{5}{9} \).

Bây giờ, chúng ta cộng phần nguyên với phân số này:
\( 2,(5) = 2 + \frac{5}{9} \).
Quy đồng mẫu số:
\( 2 = \frac{2 \times 9}{9} = \frac{18}{9} \).
Vậy, \( 2,(5) = \frac{18}{9} + \frac{5}{9} = \frac{18 + 5}{9} = \frac{23}{9} \).

Vậy, chúng ta có: \( \mathbf{2,(5) = \frac{23}{9}} \).

Bước 2: Thực hiện phép trừ trong dấu ngoặc vuông.

Bây giờ chúng ta sẽ tính giá trị của biểu thức \( [ 3,(12) – 2,(5) ] \) bằng cách thay thế các số thập phân bằng các phân số vừa tìm được:
\( \frac{103}{33} – \frac{23}{9} \).

Để trừ hai phân số, chúng ta cần tìm mẫu số chung nhỏ nhất của 33 và 9.
Phân tích ra thừa số nguyên tố: \( 33 = 3 \times 11 \), \( 9 = 3 \times 3 \).
Mẫu số chung nhỏ nhất (LCM) của 33 và 9 là \( 3 \times 3 \times 11 = 99 \).

Tiến hành quy đồng mẫu số:
Đối với \( \frac{103}{33} \): nhân cả tử và mẫu với 3 (vì \( 33 \times 3 = 99 \)).
\( \frac{103 \times 3}{33 \times 3} = \frac{309}{99} \).

Đối với \( \frac{23}{9} \): nhân cả tử và mẫu với 11 (vì \( 9 \times 11 = 99 \)).
\( \frac{23 \times 11}{9 \times 11} = \frac{253}{99} \).

Bây giờ thực hiện phép trừ:
\( \frac{309}{99} – \frac{253}{99} = \frac{309 – 253}{99} = \frac{56}{99} \).

Vậy, giá trị của biểu thức trong ngoặc vuông là: \( \mathbf{\frac{56}{99}} \).

Bước 3: Chuyển đổi số chia \( 0,14 \) về dạng phân số.

Số \( 0,14 \) là một số thập phân hữu hạn, việc chuyển đổi rất đơn giản:
\( 0,14 = \frac{14}{100} \).

Chúng ta có thể rút gọn phân số này bằng cách chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất của chúng (là 2):
\( \frac{14 \div 2}{100 \div 2} = \frac{7}{50} \).

Vậy, chúng ta có: \( \mathbf{0,14 = \frac{7}{50}} \).

Bước 4: Thực hiện phép chia cuối cùng.

Bây giờ, chúng ta đã có tất cả các thành phần dưới dạng phân số. Chúng ta sẽ thực hiện phép chia cuối cùng của biểu thức:
\( [ 3,(12) – 2,(5) ] : 0,14 \)
\( = \frac{56}{99} : \frac{7}{50} \).

Để chia hai phân số, chúng ta lấy phân số thứ nhất nhân với phân số nghịch đảo của phân số thứ hai:
\( \frac{56}{99} \times \frac{50}{7} \).

Để đơn giản hóa phép nhân này, chúng ta có thể rút gọn chéo (hay còn gọi là “gạch chéo”):
Chúng ta thấy 56 và 7 có ước chung là 7. Chia 56 cho 7 được 8, và chia 7 cho 7 được 1.
Vậy, phép tính trở thành:
\( \frac{56^{\div 7}}{99} \times \frac{50}{7_{\div 7}} = \frac{8}{99} \times \frac{50}{1} \).

Thực hiện phép nhân tử với tử, mẫu với mẫu:
\( \frac{8 \times 50}{99 \times 1} = \frac{400}{99} \).

Kết quả cuối cùng:

Vậy, giá trị của biểu thức \( [ 3, (12) – 2, (5) ] : 0,14 \) là \( \mathbf{\frac{400}{99}} \).

Thầy/cô hy vọng qua bài giải chi tiết này, các em đã nắm vững cách chuyển đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn sang phân số, cách thực hiện các phép tính cộng, trừ, nhân, chia phân số một cách cẩn thận và chính xác. Đây là những kiến thức nền tảng rất quan trọng cho các em sau này đấy!

Chúc các em học tốt và luôn yêu thích môn Toán nhé!