Chào mừng các con, những đồ đệ thân yêu của bần tăng!

Tiểu sử của việc bần tăng bị nhốt thì các con đã rõ. Thôi không dài dòng nữa, chúng ta hãy cùng nhau giải thoát cho bần tăng ra khỏi cái lồng của lũ yêu quái Lượng Giác Phủ!

Biểu thức chúng ta cần rút gọn là:

\[ A = \frac{2 \cos^2 x – 1}{\sin x + \cos x} \]

Hướng dẫn giải:

Để rút gọn biểu thức này, các con cần nhớ lại một số công thức lượng giác cơ bản mà chúng ta đã học.

Bước 1: Phân tích tử số

Các con hãy nhớ lại một công thức lượng giác quen thuộc, đó là công thức nhân đôi của cosin:

\[ \cos(2x) = 2 \cos^2 x – 1 \]

Vậy, tử số của biểu thức \(A\) chính là \(\cos(2x)\).

Ta có thể viết lại biểu thức \(A\) như sau:

\[ A = \frac{\cos(2x)}{\sin x + \cos x} \]

Bước 2: Phân tích tử số \(\cos(2x)\) thành nhân tử

Chúng ta lại có một công thức nhân đôi khác của cosin:

\[ \cos(2x) = \cos^2 x – \sin^2 x \]

Và điều đặc biệt ở đây là, \(\cos^2 x – \sin^2 x\) chính là một hằng đẳng thức đáng nhớ: “hiệu hai bình phương”!

\[ \cos^2 x – \sin^2 x = (\cos x – \sin x)(\cos x + \sin x) \]

Thay vào biểu thức \(A\), ta được:

\[ A = \frac{(\cos x – \sin x)(\cos x + \sin x)}{\sin x + \cos x} \]

Bước 3: Thực hiện rút gọn

Các con có thấy điều gì đặc biệt không? Ở cả tử số và mẫu số đều có nhân tử chung là \((\sin x + \cos x)\)!

Chúng ta có thể rút gọn nhân tử này, với điều kiện nó phải khác 0 (điều kiện xác định sẽ được nói rõ ở bước tiếp theo).

\[ A = \cos x – \sin x \]

Bước 4: Nêu điều kiện xác định (rất quan trọng!)

Để biểu thức \(A\) xác định và việc rút gọn là hợp lệ, mẫu số không được bằng 0.

Tức là: \( \sin x + \cos x \neq 0 \)

Để giải điều kiện này, các con có thể chia cả hai vế cho \(\cos x\) (với điều kiện \(\cos x \neq 0\)):

\[ \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\cos x} \neq 0 \]
\[ \tan x + 1 \neq 0 \]
\[ \tan x \neq -1 \]

Điều này có nghĩa là \(x \neq -\frac{\pi}{4} + k\pi\) (hay \(x \neq 135^\circ + k \cdot 180^\circ\)), với \(k\) là số nguyên.

Kết luận:

Vậy, biểu thức đã được rút gọn là:

\[ A = \cos x – \sin x \]

Với điều kiện \(\sin x + \cos x \neq 0\).

Các con đã làm rất tốt! Nhờ có các con mà bần tăng đã thoát khỏi chiếc lồng giam của lũ yêu quái Lượng Giác Phủ. Giờ thì bần tăng có thể an tâm tiếp tục đại chiến thêm 300 hiệp nữa với nữ thí chủ rồi!

Hãy tiếp tục luyện tập để tinh thông võ học lượng giác, các đồ đệ!