Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết phần (b) của bài toán rút gọn biểu thức P. Ở phần (a), chúng ta đã rút gọn được biểu thức \(P\) và có kết quả là \(P=(x-1)/(sqrt{x})\). Các điều kiện xác định của biểu thức là \(x>0\) và \(x \neq 1\). Bây giờ, chúng ta sẽ chuyển sang phần (b) để tìm các giá trị của \(x\) sao cho \(P < 1/2\).

— Lời giải chi tiết phần (b) —

Để tìm tất cả các giá trị của \(x\) sao cho \(P < 1/2\), chúng ta sẽ sử dụng biểu thức \(P\) đã được rút gọn ở câu (a), đó là \(P = (x-1)/(sqrt{x})\).

Chúng ta cần giải bất phương trình sau:

\[\frac{x-1}{\sqrt{x}} < \frac{1}{2}\]

Bước 1: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế và tìm mẫu chung.

\[\frac{x-1}{\sqrt{x}} – \frac{1}{2} < 0\]

Để quy đồng mẫu số, ta nhận thấy mẫu chung nhỏ nhất là \(2\sqrt{x}\).

\[\frac{2(x-1)}{2\sqrt{x}} – \frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} < 0\] \[\frac{2(x-1) - \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} < 0\] \[\frac{2x - 2 - \sqrt{x}}{2\sqrt{x}} < 0\]

Bước 2: Phân tích dấu của tử số và mẫu số.

Dựa vào điều kiện xác định của biểu thức P là \(x > 0\), chúng ta có thể khẳng định rằng \(2\sqrt{x}\) luôn dương (luôn lớn hơn 0).

Vì mẫu số \(2\sqrt{x} > 0\), để phân số \(\frac{2x – \sqrt{x} – 2}{2\sqrt{x}}\) nhỏ hơn 0, thì tử số của nó phải nhỏ hơn 0.

Do đó, chúng ta cần giải bất phương trình sau:

\[2x – \sqrt{x} – 2 < 0\]

Bước 3: Giải bất phương trình với ẩn phụ.

Đặt \(t = \sqrt{x}\). Vì \(x > 0\), nên \(t > 0\).
Khi đó, \(x = t^2\).

Thay vào bất phương trình, ta được:

\[2t^2 – t – 2 < 0\]

Để giải bất phương trình bậc hai này, chúng ta cần tìm nghiệm của phương trình \(2t^2 – t – 2 = 0\).

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(at^2 + bt + c = 0\): \(t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}\).

Trong trường hợp này, \(a=2, b=-1, c=-2\).

\[\Delta = b^2 – 4ac = (-1)^2 – 4(2)(-2) = 1 + 16 = 17\]

Các nghiệm của phương trình là:

\[t_1 = \frac{-(-1) – \sqrt{17}}{2(2)} = \frac{1 – \sqrt{17}}{4}\]
\[t_2 = \frac{-(-1) + \sqrt{17}}{2(2)} = \frac{1 + \sqrt{17}}{4}\]

Vì hệ số \(a = 2 > 0\), parabol \(y = 2t^2 – t – 2\) có bề lõm quay lên. Do đó, \(2t^2 – t – 2 < 0\) khi \(t\) nằm giữa hai nghiệm.

\[\frac{1 – \sqrt{17}}{4} < t < \frac{1 + \sqrt{17}}{4}\]

Bước 4: Đối chiếu với điều kiện của ẩn phụ và trả về biến ban đầu.

Chúng ta có điều kiện \(t > 0\). Hãy kiểm tra giá trị của \(\frac{1 – \sqrt{17}}{4}\):

Vì \(\sqrt{16} = 4\) và \(\sqrt{25} = 5\), nên \(4 < \sqrt{17} < 5\).
Do đó, \(1 – \sqrt{17}\) là một số âm.
Vậy \(\frac{1 – \sqrt{17}}{4}\) là một số âm.

Kết hợp với điều kiện \(t > 0\), chúng ta có:

\[0 < t < \frac{1 + \sqrt{17}}{4}\]

Bây giờ, thay \(t = \sqrt{x}\) trở lại:

\[0 < \sqrt{x} < \frac{1 + \sqrt{17}}{4}\]

Bình phương tất cả các vế (vì tất cả các vế đều dương, phép bình phương không làm thay đổi chiều của bất đẳng thức):

\[0^2 < (\sqrt{x})^2 < \left(\frac{1 + \sqrt{17}}{4}\right)^2\] \[0 < x < \frac{(1 + \sqrt{17})^2}{16}\]

Tính giá trị của tử số \((1 + \sqrt{17})^2\):

\[(1 + \sqrt{17})^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{17} + (\sqrt{17})^2 = 1 + 2\sqrt{17} + 17 = 18 + 2\sqrt{17}\]

Vậy, bất phương trình trở thành:

\[0 < x < \frac{18 + 2\sqrt{17}}{16}\]

Rút gọn phân số:

\[0 < x < \frac{2(9 + \sqrt{17})}{2 \cdot 8}\] \[0 < x < \frac{9 + \sqrt{17}}{8}\]

Bước 5: Kết hợp với điều kiện xác định ban đầu.

Điều kiện xác định ban đầu là \(x > 0\) và \(x \neq 1\).

Khoảng giá trị chúng ta tìm được là \(0 < x < \frac{9 + \sqrt{17}}{8}\).

Chúng ta cần kiểm tra xem \(x=1\) có nằm trong khoảng này hay không.

Để ước lượng giá trị của \(\frac{9 + \sqrt{17}}{8}\):

Ta có \(4 < \sqrt{17} < 5\), vậy:

\(\frac{9 + 4}{8} < \frac{9 + \sqrt{17}}{8} < \frac{9 + 5}{8}\)

\(\frac{13}{8} < \frac{9 + \sqrt{17}}{8} < \frac{14}{8}\)

\(1.625 < \frac{9 + \sqrt{17}}{8} < 1.75\)

Vì \(1 < 1.625\), nên \(x=1\) nằm trong khoảng \((0; \frac{9 + \sqrt{17}}{8})\). Do đó, chúng ta cần loại bỏ giá trị \(x=1\).

Vậy, tập hợp các giá trị của \(x\) thỏa mãn \(P < 1/2\) là:

\[0 < x < \frac{9 + \sqrt{17}}{8} \text{ và } x \neq 1\]

Hay viết dưới dạng khoảng:

\[x \in \left(0; 1\right) \cup \left(1; \frac{9 + \sqrt{17}}{8}\right)\]

Kết luận:

Tập hợp các giá trị của \(x\) sao cho \(P < 1/2\) là \(x \in \left(0; 1\right) \cup \left(1; \frac{9 + \sqrt{17}}{8}\right)\).