Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau ôn tập và luyện tập một dạng toán rất quan trọng trong chương trình Đại số lớp 8, đó là phân tích đa thức thành nhân tử. Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi một đa thức thành tích của các đa thức khác. Có nhiều phương pháp để làm điều này, và hôm nay chúng ta sẽ cùng giải quyết các bài tập sau bằng cách sử dụng các phương pháp cơ bản nhất.

Các em hãy cùng theo dõi và ghi chép thật kỹ nhé!

Chúng ta bắt đầu với bài tập đầu tiên:

a. Phân tích đa thức \(5x – 20y\) thành nhân tử.

Hướng dẫn giải:

Để phân tích đa thức này, chúng ta sẽ tìm nhân tử chung của các hạng tử.

Quan sát các hạng tử:

• Hạng tử thứ nhất là \(5x\).
• Hạng tử thứ hai là \(20y\).

Ta thấy rằng:

• Số 5 là ước của 5 và 20.
• Không có biến chung giữa \(x\) và \(y\).

Vậy, nhân tử chung lớn nhất của \(5x\) và \(20y\) là \(5\).

Bây giờ, chúng ta sẽ đặt \(5\) ra ngoài dấu ngoặc:

\(5x – 20y = 5 \cdot x – 5 \cdot 4y\)

\( = 5(x – 4y)\)

Vậy, đa thức đã được phân tích thành nhân tử.

Kết quả: \(5x – 20y = 5(x – 4y)\)

b. Phân tích đa thức \(x^2 + 5xy + x\) thành nhân tử.

Hướng dẫn giải:

Tương tự như câu a, chúng ta sẽ tìm nhân tử chung của tất cả các hạng tử.

Các hạng tử là:

• Hạng tử thứ nhất là \(x^2\).
• Hạng tử thứ hai là \(5xy\).
• Hạng tử thứ ba là \(x\).

Ta thấy rằng:

• Tất cả các hạng tử đều chứa biến \(x\).
• Số mũ nhỏ nhất của \(x\) là \(1\) (trong hạng tử \(x\)).
• Không có hệ số chung lớn hơn 1 (ngoài 1) giữa các hạng tử.

Vậy, nhân tử chung lớn nhất của \(x^2\), \(5xy\), và \(x\) là \(x\).

Bây giờ, chúng ta sẽ đặt \(x\) ra ngoài dấu ngoặc:

\(x^2 + 5xy + x = x \cdot x + x \cdot 5y + x \cdot 1\)

\( = x(x + 5y + 1)\)

Kết quả: \(x^2 + 5xy + x = x(x + 5y + 1)\)

c. Phân tích đa thức \(14x^2y – 21xy^2 + 28x^2y^2\) thành nhân tử.

Hướng dẫn giải:

Đây là một bài tập đòi hỏi chúng ta phải tìm nhân tử chung bao gồm cả hệ số và biến số.

Các hạng tử là:

• Hạng tử thứ nhất là \(14x^2y\).
• Hạng tử thứ hai là \(-21xy^2\).
• Hạng tử thứ ba là \(28x^2y^2\).

Bước 1: Tìm nhân tử chung về hệ số.

Các hệ số là \(14\), \(-21\), và \(28\). Chúng ta cần tìm ước chung lớn nhất của \(14\), \(21\), và \(28\).

\(14 = 2 \cdot 7\)
\(21 = 3 \cdot 7\)
\(28 = 4 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7\)

Ước chung lớn nhất (ƯCLN) của \(14\), \(21\), \(28\) là \(7\).

Bước 2: Tìm nhân tử chung về biến.

• Đối với biến \(x\): Các hạng tử có \(x^2\), \(x\), \(x^2\). Số mũ nhỏ nhất của \(x\) là \(1\). Vậy, nhân tử chung là \(x\).
• Đối với biến \(y\): Các hạng tử có \(y\), \(y^2\), \(y^2\). Số mũ nhỏ nhất của \(y\) là \(1\). Vậy, nhân tử chung là \(y\).

Bước 3: Kết hợp nhân tử chung.

Nhân tử chung lớn nhất của cả đa thức là \(7xy\).

Bây giờ, chúng ta sẽ đặt \(7xy\) ra ngoài dấu ngoặc:

\(14x^2y – 21xy^2 + 28x^2y^2\)

\( = (7xy) \cdot (2x) – (7xy) \cdot (3y) + (7xy) \cdot (4xy)\)

\( = 7xy(2x – 3y + 4xy)\)

Kết quả: \(14x^2y – 21xy^2 + 28x^2y^2 = 7xy(2x – 3y + 4xy)\)

d. Phân tích đa thức \(5(x-1) – 3x(x-1)\) thành nhân tử.

Hướng dẫn giải:

Ở bài này, các em có thể dễ dàng nhận thấy một nhân tử chung là một biểu thức.

Quan sát các hạng tử:

• Hạng tử thứ nhất là \(5(x-1)\).
• Hạng tử thứ hai là \(-3x(x-1)\).

Chúng ta thấy cả hai hạng tử đều chứa biểu thức \((x-1)\).

Vậy, \((x-1)\) chính là nhân tử chung.

Bây giờ, chúng ta sẽ đặt \((x-1)\) ra ngoài dấu ngoặc:

\(5(x-1) – 3x(x-1) = (x-1)(5 – 3x)\)

Kết quả: \(5(x-1) – 3x(x-1) = (x-1)(5 – 3x)\)

e. Phân tích đa thức \(x(x-y) + y(y-x)\) thành nhân tử.

Hướng dẫn giải:

Bài này có vẻ hơi “đánh lừa” một chút, nhưng các em hãy tinh ý quan sát!

Các hạng tử là:

• Hạng tử thứ nhất là \(x(x-y)\).
• Hạng tử thứ hai là \(y(y-x)\).

Chúng ta thấy có hai biểu thức gần giống nhau là \((x-y)\) và \((y-x)\).

Hãy nhớ rằng: \((y-x) = -(x-y)\).

Chúng ta sẽ biến đổi hạng tử thứ hai để xuất hiện nhân tử \((x-y)\):

\(y(y-x) = y \cdot (-(x-y)) = -y(x-y)\)

Bây giờ, thay thế vào đa thức ban đầu:

\(x(x-y) + y(y-x) = x(x-y) – y(x-y)\)

Đến đây, chúng ta đã có nhân tử chung là \((x-y)\).

Tiếp tục đặt \((x-y)\) ra ngoài dấu ngoặc:

\( = (x-y)(x – y)\)

\( = (x-y)^2\)

Kết quả: \(x(x-y) + y(y-x) = (x-y)^2\)

g. Phân tích đa thức \(x(x+y) – 5x – 5y\) thành nhân tử.

Hướng dẫn giải:

Bài này chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nhóm các hạng tử.

Đa thức có 4 hạng tử: \(x(x+y)\), \(-5x\), \(-5y\).

Chúng ta đã có một nhân tử là \((x+y)\) ở hạng tử đầu tiên. Hãy thử biến đổi các hạng tử còn lại để xuất hiện nhân tử \((x+y)\).

Quan sát hai hạng tử cuối: \(-5x – 5y\).

Ta thấy có nhân tử chung là \(-5\).

Đặt \(-5\) ra ngoài dấu ngoặc:

\(-5x – 5y = -5(x + y)\)

Bây giờ, thay thế vào đa thức ban đầu:

\(x(x+y) – 5x – 5y = x(x+y) – 5(x+y)\)

Đến đây, chúng ta đã có nhân tử chung là \((x+y)\).

Tiếp tục đặt \((x+y)\) ra ngoài dấu ngoặc:

\( = (x+y)(x – 5)\)

Kết quả: \(x(x+y) – 5x – 5y = (x+y)(x – 5)\)

Các em thấy không, việc phân tích đa thức thành nhân tử không hề khó nếu chúng ta nắm vững các phương pháp cơ bản như đặt nhân tử chung và nhóm hạng tử. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo các dạng bài này nhé!

Chúc các em học tốt!