Chào các em học sinh lớp 7 thân mến!

Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một dạng bài tập rất quan trọng trong chương trình Đại số, đó là phân tích đa thức thành nhân tử. Phân tích đa thức thành nhân tử nghĩa là chúng ta sẽ biến đổi một đa thức thành tích của các đa thức đơn giản hơn.

Trong bài này, chúng ta sẽ tập trung vào việc áp dụng các Hằng đẳng thức đáng nhớ, đặc biệt là bình phương của một tổng và bình phương của một hiệu. Các em còn nhớ không nào?

Chúng ta có hai công thức chính:

• Bình phương của một tổng: \( (A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2 \)

• Bình phương của một hiệu: \( (A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2 \)

Bây giờ, chúng ta hãy cùng nhau đi vào từng bài tập cụ thể nhé!

a. Phân tích đa thức \(x^2-4x+4\) thành nhân tử

Chúng ta cùng quan sát đa thức này. Các em thấy có gì đặc biệt không?

• Số hạng đầu tiên là \(x^2\), có thể viết là \((x)^2\). Vậy \(A\) ở đây có thể là \(x\).

• Số hạng cuối cùng là \(4\), có thể viết là \((2)^2\). Vậy \(B\) ở đây có thể là \(2\).

• Số hạng ở giữa là \(-4x\).

Bây giờ, chúng ta thử áp dụng công thức bình phương của một hiệu \((A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2\).

Nếu \(A=x\) và \(B=2\), thì \(A^2 – 2AB + B^2\) sẽ là \(x^2 – 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2\).

Tính toán biểu thức này, ta được: \(x^2 – 4x + 4\).

Ồ! Đúng bằng đa thức ban đầu rồi! Điều đó có nghĩa là đa thức \(x^2-4x+4\) chính là bình phương của một hiệu.

Vậy, ta có thể viết:

\(x^2-4x+4 = (x-2)^2 \)

Đây chính là dạng đã được phân tích thành nhân tử.

b. Phân tích đa thức \(x^2+6x+9\) thành nhân tử

Chúng ta lại tiếp tục phân tích đa thức này:

• Số hạng đầu tiên là \(x^2\), tức là \((x)^2\). Vậy \(A\) có thể là \(x\).

• Số hạng cuối cùng là \(9\), tức là \((3)^2\). Vậy \(B\) có thể là \(3\).

• Số hạng ở giữa là \(+6x\).

Vì dấu ở giữa là dấu cộng, chúng ta sẽ thử áp dụng công thức bình phương của một tổng \((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\).

Nếu \(A=x\) và \(B=3\), thì \(A^2 + 2AB + B^2\) sẽ là \(x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2\).

Tính toán biểu thức này, ta được: \(x^2 + 6x + 9\).

Tuyệt vời! Lại một lần nữa, đa thức khớp hoàn toàn với dạng bình phương của một tổng.

Vậy, ta có thể viết:

\(x^2+6x+9 = (x+3)^2 \)

c. Phân tích đa thức \(25-10y+y^2\) thành nhân tử

Đa thức này có thứ tự hơi khác một chút, nhưng các em đừng lo lắng nhé!

• Số hạng đầu tiên là \(25\), tức là \((5)^2\). Vậy \(A\) có thể là \(5\).

• Số hạng cuối cùng là \(y^2\), tức là \((y)^2\). Vậy \(B\) có thể là \(y\).

• Số hạng ở giữa là \(-10y\).

Vì dấu ở giữa là dấu trừ, chúng ta sẽ thử áp dụng công thức bình phương của một hiệu \((A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2\).

Nếu \(A=5\) và \(B=y\), thì \(A^2 – 2AB + B^2\) sẽ là \(5^2 – 2 \cdot 5 \cdot y + y^2\).

Tính toán biểu thức này, ta được: \(25 – 10y + y^2\).

Chính xác! Đa thức đã cho chính là bình phương của một hiệu.

Vậy, ta có thể viết:

\(25-10y+y^2 = (5-y)^2 \)

d. Phân tích đa thức \(4x^2+4x+1\) thành nhân tử

Chúng ta cùng phân tích các số hạng:

• Số hạng đầu tiên là \(4x^2\). Chúng ta biết rằng \(4x^2 = (2x)^2\). Vậy \(A\) có thể là \(2x\).

• Số hạng cuối cùng là \(1\), tức là \((1)^2\). Vậy \(B\) có thể là \(1\).

• Số hạng ở giữa là \(+4x\).

Vì dấu ở giữa là dấu cộng, chúng ta sẽ thử áp dụng công thức bình phương của một tổng \((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\).

Nếu \(A=2x\) và \(B=1\), thì \(A^2 + 2AB + B^2\) sẽ là \((2x)^2 + 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2\).

Tính toán biểu thức này, ta được: \(4x^2 + 4x + 1\).

Hoàn hảo! Đây chính là dạng bình phương của một tổng.

Vậy, ta có thể viết:

\(4x^2+4x+1 = (2x+1)^2 \)

e. Phân tích đa thức \(x^2-x+1/4\) thành nhân tử

Đừng ngại khi thấy phân số nhé, cách làm vẫn tương tự thôi!

• Số hạng đầu tiên là \(x^2\), tức là \((x)^2\). Vậy \(A\) có thể là \(x\).

• Số hạng cuối cùng là \(1/4\). Chúng ta biết rằng \(1/4 = (1/2)^2\). Vậy \(B\) có thể là \(1/2\).

• Số hạng ở giữa là \(-x\).

Vì dấu ở giữa là dấu trừ, chúng ta sẽ thử áp dụng công thức bình phương của một hiệu \((A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2\).

Nếu \(A=x\) và \(B=1/2\), thì \(A^2 – 2AB + B^2\) sẽ là \(x^2 – 2 \cdot x \cdot (1/2) + (1/2)^2\).

Tính toán biểu thức này, ta được: \(x^2 – x + 1/4\).

Rất chính xác! Đa thức đã cho là bình phương của một hiệu.

Vậy, ta có thể viết:

\(x^2-x+1/4 = (x-1/2)^2 \)

f. Phân tích đa thức \(x^2y^4-4xy^3+4y^2\) thành nhân tử

Đa thức này nhìn có vẻ phức tạp hơn một chút, vì có nhiều biến và số mũ lớn hơn. Tuy nhiên, trước khi nghĩ đến các hằng đẳng thức, các em hãy luôn nhớ một bước quan trọng đầu tiên khi phân tích đa thức thành nhân tử: đặt nhân tử chung (nếu có)!

Chúng ta hãy xem xét các số hạng:

• \(x^2y^4\)

• \(-4xy^3\)

• \(4y^2\)

Các em có thấy số hạng nào xuất hiện chung trong cả ba số hạng không? Đó chính là \(y^2\)!

Chúng ta sẽ đặt \(y^2\) làm nhân tử chung:

\(x^2y^4-4xy^3+4y^2 = y^2 (x^2y^2 – 4xy + 4)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ tập trung phân tích đa thức trong dấu ngoặc: \(x^2y^2 – 4xy + 4\).

Hãy xem xét đa thức này:

• Số hạng đầu tiên là \(x^2y^2\). Chúng ta có thể viết là \((xy)^2\). Vậy \(A\) có thể là \(xy\).

• Số hạng cuối cùng là \(4\), tức là \((2)^2\). Vậy \(B\) có thể là \(2\).

• Số hạng ở giữa là \(-4xy\).

Vì dấu ở giữa là dấu trừ, chúng ta sẽ thử áp dụng công thức bình phương của một hiệu \((A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2\).

Nếu \(A=xy\) và \(B=2\), thì \(A^2 – 2AB + B^2\) sẽ là \((xy)^2 – 2 \cdot (xy) \cdot 2 + 2^2\).

Tính toán biểu thức này, ta được: \(x^2y^2 – 4xy + 4\).

Tuyệt vời! Đa thức trong ngoặc chính là bình phương của một hiệu: \((xy-2)^2\).

Cuối cùng, chúng ta kết hợp lại với nhân tử chung \(y^2\) đã đặt ở bước đầu tiên:

\(x^2y^4-4xy^3+4y^2 = y^2 (xy-2)^2 \)

Các em thấy đấy, việc phân tích đa thức thành nhân tử sử dụng hằng đẳng thức không quá khó đúng không nào? Điều quan trọng là chúng ta cần nắm vững các công thức và tập trung quan sát các số hạng trong đa thức để nhận diện đúng dạng hằng đẳng thức.

Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo dạng bài này nhé! Chúc các em học tốt!