Bài toán: Tìm các số nguyên x, sao cho:
a) \( \frac{6}{x-2} \) là phân số dương
b) \( \frac{4x-3}{x+2} \) là phân số âm
c) \( \frac{x+6}{x+2} \) là phân số dương
d) \( \frac{3x-1}{4x+1} \) là số nguyên âm.

—

Giải chi tiết:

Phần a) Tìm các số nguyên x, sao cho \( \frac{6}{x-2} \) là phân số dương.

* Phân tích: Để một phân số dương, tử số và mẫu số phải cùng dấu. Ở đây, tử số là 6, là một số dương. Do đó, mẫu số \( (x-2) \) cũng phải là một số dương.
* Lập luận:
Ta có: \( \frac{6}{x-2} > 0 \)
Vì \( 6 > 0 \), nên để phân số trên dương thì mẫu số phải dương.
\( x-2 > 0 \)
* Giải bất phương trình:
\( x-2 > 0 \)
\( x > 2 \)
* Kết luận: Các số nguyên x thỏa mãn điều kiện là các số nguyên lớn hơn 2.
Vậy, \( x \in \{3, 4, 5, …\} \)

Phần b) Tìm các số nguyên x, sao cho \( \frac{4x-3}{x+2} \) là phân số âm.

* Phân tích: Để một phân số âm, tử số và mẫu số phải trái dấu. Có hai trường hợp xảy ra:
Trường hợp 1: Tử số dương và mẫu số âm.
Trường hợp 2: Tử số âm và mẫu số dương.
* Lập luận:
Ta có: \( \frac{4x-3}{x+2} < 0 \) Trường hợp 1: \( 4x-3 > 0 \) VÀ \( x+2 < 0 \) \( 4x > 3 \Rightarrow x > \frac{3}{4} \)
\( x < -2 \) Không có số nguyên x nào thỏa mãn đồng thời \( x > \frac{3}{4} \) và \( x < -2 \). Trường hợp 2: \( 4x-3 < 0 \) VÀ \( x+2 > 0 \)
\( 4x < 3 \Rightarrow x < \frac{3}{4} \) \( x > -2 \)
Kết hợp hai điều kiện: \( -2 < x < \frac{3}{4} \) * Kết luận: Các số nguyên x thỏa mãn điều kiện là các số nguyên lớn hơn -2 và nhỏ hơn \( \frac{3}{4} \).
Vậy, \( x \in \{-1, 0\} \)

Phần c) Tìm các số nguyên x, sao cho \( \frac{x+6}{x+2} \) là phân số dương.

* Phân tích: Tương tự phần a), để một phân số dương, tử số và mẫu số phải cùng dấu. Có hai trường hợp:
Trường hợp 1: Tử số dương và mẫu số dương.
Trường hợp 2: Tử số âm và mẫu số âm.
* Lập luận:
Ta có: \( \frac{x+6}{x+2} > 0 \)
Trường hợp 1: \( x+6 > 0 \) VÀ \( x+2 > 0 \)
\( x > -6 \)
\( x > -2 \)
Kết hợp hai điều kiện: \( x > -2 \)
Trường hợp 2: \( x+6 < 0 \) VÀ \( x+2 < 0 \) \( x < -6 \) \( x < -2 \) Kết hợp hai điều kiện: \( x < -6 \) * Kết luận: Các số nguyên x thỏa mãn điều kiện là các số nguyên lớn hơn -2 hoặc nhỏ hơn -6.
Vậy, \( x \in \{…, -9, -8, -7\} \cup \{-1, 0, 1, 2, …\} \)

Phần d) Tìm các số nguyên x, sao cho \( \frac{3x-1}{4x+1} \) là số nguyên âm.

* Phân tích: Để một phân số là số nguyên âm, nó phải là một số nguyên và có giá trị âm. Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tách phần nguyên để đưa về dạng \( k + \frac{a}{b} \) hoặc biến đổi để đưa về dạng \( \frac{a}{b} \). Ở đây, chúng ta có thể thực hiện phép chia đa thức hoặc biến đổi tử số để xuất hiện mẫu số.
Chúng ta muốn \( \frac{3x-1}{4x+1} \) là một số nguyên âm. Điều này có nghĩa là \( \frac{3x-1}{4x+1} \le -1 \) (vì nó là số nguyên âm, nó phải nhỏ hơn hoặc bằng -1).
* Lập luận:
Ta có: \( \frac{3x-1}{4x+1} \) là số nguyên âm.
Điều này có nghĩa là \( \frac{3x-1}{4x+1} = k \) với \( k \) là một số nguyên âm ( \( k \in \{-1, -2, -3, …\} \) ).
Chúng ta có thể biến đổi biểu thức bằng cách nhân cả tử và mẫu với 4 để cố gắng tạo ra một mối liên hệ với \( 3x-1 \). Tuy nhiên, việc này có thể làm phức tạp thêm.
Một cách khác là biến đổi tử số để có \( 4x+1 \):
\( \frac{3x-1}{4x+1} = \frac{\frac{3}{4}(4x+1) – \frac{3}{4} – 1}{4x+1} = \frac{\frac{3}{4}(4x+1) – \frac{7}{4}}{4x+1} = \frac{3}{4} – \frac{7}{4(4x+1)} \)
Để biểu thức này là số nguyên, \( \frac{7}{4(4x+1)} \) phải có dạng \( \frac{3}{4} – k \) với \( k \) là số nguyên.
Tuy nhiên, cách này cũng hơi phức tạp. Chúng ta hãy thử một cách khác: biến đổi để xuất hiện \( 3x-1 \).
Ta sẽ nhân cả tử và mẫu với 3 để tạo ra \( 9x \) và nhân với 4 để tạo ra \( 12x \).
\( \frac{3x-1}{4x+1} = \frac{3(3x-1)}{3(4x+1)} = \frac{9x-3}{12x+3} \)
\( \frac{3x-1}{4x+1} = \frac{4(3x-1)}{4(4x+1)} = \frac{12x-4}{16x+4} \)

Hãy thử lại phương pháp tách phần nguyên. Chúng ta muốn \( \frac{3x-1}{4x+1} \) là số nguyên âm.
Điều này có nghĩa là \( \frac{3x-1}{4x+1} < 0 \) VÀ \( \frac{3x-1}{4x+1} \) là số nguyên. Trước hết, xét điều kiện \( \frac{3x-1}{4x+1} < 0 \): Trường hợp 1: \( 3x-1 > 0 \) và \( 4x+1 < 0 \) \( x > \frac{1}{3} \) và \( x < -\frac{1}{4} \). Không có x thỏa mãn. Trường hợp 2: \( 3x-1 < 0 \) và \( 4x+1 > 0 \)
\( x < \frac{1}{3} \) và \( x > -\frac{1}{4} \).
Vậy, \( -\frac{1}{4} < x < \frac{1}{3} \). Các số nguyên x trong khoảng này là: \( x=0 \). Khi \( x=0 \), \( \frac{3(0)-1}{4(0)+1} = \frac{-1}{1} = -1 \). Đây là một số nguyên âm. Bây giờ, chúng ta cần xem xét khi nào \( \frac{3x-1}{4x+1} \) là một số nguyên âm bất kỳ. Ta có thể viết lại biểu thức như sau: \( 4 \times (3x-1) = 12x - 4 \) \( 3 \times (4x+1) = 12x + 3 \) Ta thấy \( 4(3x-1) - 3(4x+1) = (12x - 4) - (12x + 3) = -7 \). Do đó, \( 4(3x-1) = 3(4x+1) - 7 \). Chia cả hai vế cho \( 4(4x+1) \) (với \( 4x+1 \neq 0 \), tức là \( x \neq -\frac{1}{4} \)): \( \frac{3x-1}{4x+1} = \frac{3(4x+1) - 7}{4(4x+1)} = \frac{3}{4} - \frac{7}{4(4x+1)} \) Để \( \frac{3x-1}{4x+1} \) là số nguyên, \( 4(4x+1) \) phải chia hết cho 7. Vì 4 và 7 nguyên tố cùng nhau, nên \( 4x+1 \) phải chia hết cho 7. Đặt \( 4x+1 = 7k \) với \( k \) là số nguyên. \( 4x = 7k - 1 \) Để \( x \) là số nguyên, \( 7k - 1 \) phải chia hết cho 4. Ta xét các giá trị của \( k \): Nếu \( k=1 \), \( 7(1)-1 = 6 \) (không chia hết cho 4) Nếu \( k=2 \), \( 7(2)-1 = 13 \) (không chia hết cho 4) Nếu \( k=3 \), \( 7(3)-1 = 20 \). \( 20 \) chia hết cho 4. \( 4x = 20 \Rightarrow x=5 \). Kiểm tra \( x=5 \): \( \frac{3(5)-1}{4(5)+1} = \frac{14}{21} = \frac{2}{3} \) (không phải số nguyên âm). Nếu \( k=-1 \), \( 7(-1)-1 = -8 \). \( -8 \) chia hết cho 4. \( 4x = -8 \Rightarrow x=-2 \). Kiểm tra \( x=-2 \): \( \frac{3(-2)-1}{4(-2)+1} = \frac{-7}{-7} = 1 \) (không phải số nguyên âm). Nếu \( k=-2 \), \( 7(-2)-1 = -15 \) (không chia hết cho 4) Nếu \( k=-3 \), \( 7(-3)-1 = -22 \) (không chia hết cho 4) Nếu \( k=-4 \), \( 7(-4)-1 = -29 \) (không chia hết cho 4) Nếu \( k=-5 \), \( 7(-5)-1 = -36 \). \( -36 \) chia hết cho 4. \( 4x = -36 \Rightarrow x=-9 \). Kiểm tra \( x=-9 \): \( \frac{3(-9)-1}{4(-9)+1} = \frac{-28}{-35} = \frac{4}{5} \) (không phải số nguyên âm). Ta cần \( \frac{3x-1}{4x+1} \) là số nguyên âm. Ta đã tìm được \( x=0 \), cho kết quả \( -1 \). Hãy quay lại điều kiện \( \frac{3x-1}{4x+1} \) là số nguyên. Điều này có nghĩa là \( 4x+1 \) phải là ước của \( 3x-1 \). Vì \( 4x+1 \) là ước của \( 3x-1 \), nên \( 4x+1 \) cũng là ước của \( 4(3x-1) = 12x-4 \). Ta biết \( 4x+1 \) là ước của \( 3(4x+1) = 12x+3 \). Vậy, \( 4x+1 \) phải là ước của \( (12x+3) - (12x-4) = 7 \). Do đó, \( 4x+1 \) phải là một ước của 7. Các ước của 7 là: \( \{1, -1, 7, -7\} \). Ta xét từng trường hợp: 1. \( 4x+1 = 1 \) \( 4x = 0 \) \( x = 0 \) Khi \( x=0 \), \( \frac{3(0)-1}{4(0)+1} = \frac{-1}{1} = -1 \). Đây là số nguyên âm. Thỏa mãn. 2. \( 4x+1 = -1 \) \( 4x = -2 \) \( x = -\frac{1}{2} \) (Không phải số nguyên). Loại. 3. \( 4x+1 = 7 \) \( 4x = 6 \) \( x = \frac{3}{2} \) (Không phải số nguyên). Loại. 4. \( 4x+1 = -7 \) \( 4x = -8 \) \( x = -2 \) Khi \( x=-2 \), \( \frac{3(-2)-1}{4(-2)+1} = \frac{-7}{-7} = 1 \). Đây là số nguyên dương. Không thỏa mãn. * Kết luận: Số nguyên x duy nhất thỏa mãn điều kiện là \( x=0 \).

—

Vậy là chúng ta đã cùng nhau giải quyết xong tất cả các phần của bài toán. Các em nhớ ôn tập kỹ các kiến thức về phân số, dấu của phân số và cách tìm ước số nhé. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô giáo. Chúc các em học tốt!