Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy/cô sẽ cùng các em giải một bài toán rất thú vị về tổng các số chính phương nhé.

Bài toán của chúng ta là: tìm x biết:

\(6^2 + 8^2 + \dots + (2x)^2 = 182084\)

Bước 1: Phân tích và tìm quy luật của dãy số

Các em hãy quan sát các số hạng trong tổng:

• Số hạng đầu tiên là \(6^2\)
• Số hạng tiếp theo là \(8^2\)
• …
• Số hạng cuối cùng là \((2x)^2\)

Chúng ta thấy rằng, tất cả các số hạng đều là bình phương của các số chẵn. Cụ thể:

• \(6 = 2 \times 3\) nên \(6^2 = (2 \times 3)^2\)
• \(8 = 2 \times 4\) nên \(8^2 = (2 \times 4)^2\)
• …
• Số hạng cuối cùng là \((2x)^2\)

Vậy, tổng của chúng ta có thể viết lại như sau:

\((2 \times 3)^2 + (2 \times 4)^2 + \dots + (2x)^2 = 182084\)

Bước 2: Rút gọn biểu thức

Chúng ta nhớ lại một tính chất của lũy thừa: \((a \times b)^2 = a^2 \times b^2\). Áp dụng tính chất này, chúng ta có:

• \((2 \times 3)^2 = 2^2 \times 3^2 = 4 \times 3^2\)
• \((2 \times 4)^2 = 2^2 \times 4^2 = 4 \times 4^2\)
• …
• \((2x)^2 = 2^2 \times x^2 = 4 \times x^2\)

Thay vào tổng, ta được:

\(4 \times 3^2 + 4 \times 4^2 + \dots + 4 \times x^2 = 182084\)

Bây giờ, chúng ta thấy tất cả các số hạng đều có thừa số chung là 4. Chúng ta có thể đặt 4 ra ngoài làm thừa số chung:

\(4 \times (3^2 + 4^2 + \dots + x^2) = 182084\)

Bước 3: Tìm tổng của các số chính phương

Để tìm \(x\), trước hết chúng ta cần tìm giá trị của tổng trong ngoặc: \(3^2 + 4^2 + \dots + x^2\).

Chúng ta sẽ chia cả hai vế của phương trình cho 4:

\(3^2 + 4^2 + \dots + x^2 = \frac{182084}{4}\)

\(3^2 + 4^2 + \dots + x^2 = 45521\)

Các em có nhớ một công thức rất hay để tính tổng các số chính phương từ 1 đến \(n\) không? Đó là:

\(1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)

Trong bài này, tổng của chúng ta bắt đầu từ \(3^2\), không phải từ \(1^2\). Vậy, chúng ta có thể viết lại tổng \(3^2 + 4^2 + \dots + x^2\) như sau:

\(3^2 + 4^2 + \dots + x^2 = (1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + x^2) – (1^2 + 2^2)\)

Giá trị của \(1^2 + 2^2\) là \(1 + 4 = 5\).

Vậy, phương trình trở thành:

\(\frac{x(x+1)(2x+1)}{6} – 5 = 45521\)

Bước 4: Giải phương trình tìm \(x\)

Đầu tiên, chúng ta cộng 5 vào cả hai vế:

\(\frac{x(x+1)(2x+1)}{6} = 45521 + 5\)

\(\frac{x(x+1)(2x+1)}{6} = 45526\)

Tiếp theo, chúng ta nhân cả hai vế với 6:

\(x(x+1)(2x+1) = 45526 \times 6\)

\(x(x+1)(2x+1) = 273156\)

Bây giờ, chúng ta cần tìm một số tự nhiên \(x\) sao cho tích của \(x\), \((x+1)\) và \((2x+1)\) bằng \(273156\).

Chúng ta có thể ước lượng giá trị của \(x\). Vì \(x\), \((x+1)\) và \((2x+1)\) là ba số tự nhiên liên tiếp (hoặc gần nhau), và \((2x+1)\) xấp xỉ \(2x\). Vậy tích của chúng xấp xỉ \(x \times x \times (2x) = 2x^3\).

Vậy, \(2x^3 \approx 273156\)

\(x^3 \approx \frac{273156}{2}\)

\(x^3 \approx 136578\)

Chúng ta thử một vài giá trị để ước lượng \(x\):

• Nếu \(x = 50\), thì \(x^3 = 50^3 = 125000\).
• Nếu \(x = 60\), thì \(x^3 = 60^3 = 216000\).

Giá trị của \(x^3\) là \(136578\) nằm giữa \(125000\) và \(216000\), nên \(x\) sẽ nằm giữa 50 và 60.

Tích \(x(x+1)(2x+1)\) kết thúc bằng chữ số 6. Chúng ta thử các số có tận cùng có thể tạo ra chữ số 6:

• Nếu \(x\) có tận cùng là 1, thì \(x+1\) có tận cùng là 2, \(2x+1\) có tận cùng là 3. Tích \(\dots 1 \times \dots 2 \times \dots 3 = \dots 6\).
• Nếu \(x\) có tận cùng là 6, thì \(x+1\) có tận cùng là 7, \(2x+1\) có tận cùng là 3. Tích \(\dots 6 \times \dots 7 \times \dots 3 = \dots 6\).

Hãy thử \(x=51\) (vì \(51^3 = 132651\) gần với \(136578\) hơn và tận cùng là 1):

\(51 \times (51+1) \times (2 \times 51 + 1)\)

\(= 51 \times 52 \times (102 + 1)\)

\(= 51 \times 52 \times 103\)

Thực hiện phép nhân:

\(51 \times 52 = 2652\)

\(2652 \times 103 = 2652 \times (100 + 3)\)

\(= 2652 \times 100 + 2652 \times 3\)

\(= 265200 + 7956\)

\(= 273156\)

Kết quả này hoàn toàn trùng khớp với giá trị chúng ta đã tính được! Vậy, \(x = 51\).

Kết luận:

Vậy, giá trị của \(x\) cần tìm là \(51\).

Thầy/cô hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Chúc các em học tốt!