Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán hình học kết hợp lượng giác rất thú vị. Bài toán này không chỉ giúp các em ôn lại kiến thức về tam giác cân, đường cao, mà còn là dịp để chúng ta tìm hiểu sâu hơn về các công thức lượng giác cơ bản.

Hãy cùng xem đề bài nhé:

ĐỀ BÀI:

Cho \(\Delta ABC\) cân tại A (\(0^\circ < \text{góc A} < 45^\circ\)). Đường cao AH. MH\(\perp\)AB. NH\(\perp\)AC.
Chứng minh rằng: \(\text{sin}(2 \cdot \text{góc BAH}) = 2 \cdot \text{sin}(\text{góc BAH}) \cdot \text{cos}(\text{góc BAH})\).

—

PHÂN TÍCH BÀI TOÁN VÀ ĐỊNH HƯỚNG GIẢI:

Trước hết, chúng ta hãy cùng phân tích những thông tin đề bài cho và yêu cầu cần chứng minh:

1. \(\Delta ABC\) cân tại A: Điều này có nghĩa là AB = AC, và các góc ở đáy bằng nhau (\(\text{góc B} = \text{góc C}\)).
2. AH là đường cao: AH\(\perp\)BC tại H. Trong tam giác cân, đường cao xuất phát từ đỉnh A đồng thời là đường trung tuyến và đường phân giác. Điều này rất quan trọng!
3. \(0^\circ < \text{góc A} < 45^\circ\): Điều kiện này đảm bảo các góc đều nhọn, thuận lợi cho việc tính sin, cos.
4. MH\(\perp\)AB, NH\(\perp\)AC: Các đường vuông góc này tạo ra các tam giác vuông mới (ví dụ: \(\Delta AMH\), \(\Delta ANH\)). Tuy nhiên, với yêu cầu chứng minh công thức lượng giác, chúng ta sẽ xem xét liệu có cần dùng đến chúng hay không.
5. Yêu cầu chứng minh: \(\text{sin}(2 \cdot \text{góc BAH}) = 2 \cdot \text{sin}(\text{góc BAH}) \cdot \text{cos}(\text{góc BAH})\). Đây chính là một công thức nhân đôi của sin, hay còn gọi là công thức sin 2x = 2sinxcosx. Nhiệm vụ của chúng ta là chứng minh nó trong ngữ cảnh hình học này.

Ý TƯỞNG CHÍNH:

Chúng ta cần biểu diễn \(\text{sin}(\text{góc BAH})\), \(\text{cos}(\text{góc BAH})\) và \(\text{sin}(2 \cdot \text{góc BAH})\) qua các cạnh của các tam giác vuông có sẵn.
Vì AH là đường phân giác của \(\text{góc BAC}\) trong \(\Delta ABC\) cân tại A, nên \(\text{góc BAC} = 2 \cdot \text{góc BAH}\).
Vậy, bài toán quy về chứng minh: \(\text{sin}(\text{góc BAC}) = 2 \cdot \text{sin}(\text{góc BAH}) \cdot \text{cos}(\text{góc BAH})\).

—

BÀI GIẢI CHI TIẾT:

Bước 1: Xác định mối quan hệ giữa các góc.

Vì \(\Delta ABC\) cân tại A và AH là đường cao xuất phát từ đỉnh A, nên AH đồng thời là đường phân giác của \(\text{góc BAC}\).
Do đó, ta có: \(\text{góc BAC} = 2 \cdot \text{góc BAH}\).

Bước 2: Biểu diễn \(\text{sin}(\text{góc BAH})\) và \(\text{cos}(\text{góc BAH})\) theo các cạnh.

Xét \(\Delta AHB\) vuông tại H (vì AH là đường cao):

Chúng ta có định nghĩa về sin và cos của một góc nhọn trong tam giác vuông:
\(\text{sin}(\text{góc BAH}) = \frac{\text{Cạnh đối}}{\text{Cạnh huyền}} = \frac{BH}{AB}\)
\(\text{cos}(\text{góc BAH}) = \frac{\text{Cạnh kề}}{\text{Cạnh huyền}} = \frac{AH}{AB}\)

(Chúng ta sẽ ký hiệu \(\alpha = \text{góc BAH}\) cho gọn trong quá trình biến đổi).

Bước 3: Biểu diễn \(\text{sin}(\text{góc BAC})\) theo các cạnh.

Để tìm \(\text{sin}(\text{góc BAC})\), chúng ta có thể sử dụng công thức tính diện tích tam giác:

Diện tích \(\Delta ABC\) có thể tính bằng hai cách:
1. Sử dụng cạnh đáy BC và đường cao AH:
\(\text{Diện tích}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH\) (1)

2. Sử dụng hai cạnh AB, AC và sin của góc xen giữa chúng (\(\text{góc BAC}\)):
\(\text{Diện tích}(\Delta ABC) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \text{sin}(\text{góc BAC})\) (2)

Từ (1) và (2), ta suy ra:
\(\frac{1}{2} \cdot BC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \text{sin}(\text{góc BAC})\)
\(\Leftrightarrow BC \cdot AH = AB \cdot AC \cdot \text{sin}(\text{góc BAC})\)

Vì \(\Delta ABC\) cân tại A, nên AB = AC. Hơn nữa, vì AH là đường cao cũng là đường trung tuyến, nên H là trung điểm của BC, tức là BC = 2BH.
Thay các thông tin này vào phương trình trên, ta được:
\((2 \cdot BH) \cdot AH = AB \cdot AB \cdot \text{sin}(\text{góc BAC})\)
\(\Leftrightarrow 2 \cdot BH \cdot AH = AB^2 \cdot \text{sin}(\text{góc BAC})\)

Từ đây, ta có thể biểu diễn \(\text{sin}(\text{góc BAC})\):
\(\text{sin}(\text{góc BAC}) = \frac{2 \cdot BH \cdot AH}{AB^2}\)

Để thuận tiện cho việc chứng minh, ta có thể viết lại vế phải như sau:
\(\text{sin}(\text{góc BAC}) = 2 \cdot \left(\frac{BH}{AB}\right) \cdot \left(\frac{AH}{AB}\right)\)

Bước 4: Kết hợp các biểu thức và rút ra kết luận.

Từ Bước 2, chúng ta có:
\(\text{sin}(\text{góc BAH}) = \frac{BH}{AB}\)
\(\text{cos}(\text{góc BAH}) = \frac{AH}{AB}\)

Thay các giá trị này vào biểu thức của \(\text{sin}(\text{góc BAC})\) vừa tìm được ở Bước 3:
\(\text{sin}(\text{góc BAC}) = 2 \cdot \text{sin}(\text{góc BAH}) \cdot \text{cos}(\text{góc BAH})\)

Mà ở Bước 1, chúng ta đã xác định \(\text{góc BAC} = 2 \cdot \text{góc BAH}\).
Vậy, ta có thể kết luận:
\(\text{sin}(2 \cdot \text{góc BAH}) = 2 \cdot \text{sin}(\text{góc BAH}) \cdot \text{cos}(\text{góc BAH})\).

Điều phải chứng minh.

—

LƯU Ý THÊM:

Các dữ kiện MH\(\perp\)AB và NH\(\perp\)AC trong bài toán này không được sử dụng trực tiếp để chứng minh công thức lượng giác \(\text{sin}(2x) = 2\text{sin}x\text{cos}x\). Đôi khi, trong các bài toán, có những thông tin được đưa ra để kiểm tra khả năng chắt lọc dữ kiện của học sinh, hoặc chúng có thể được dùng cho một phần khác của bài toán mà đề bài không yêu cầu. Với mục tiêu cụ thể là chứng minh công thức lượng giác này, chúng ta chỉ cần dùng đến tính chất của tam giác cân và đường cao.

—

Chúc mừng các em đã hoàn thành bài toán này! Qua đây, chúng ta đã được củng cố thêm về các tính chất của tam giác cân, cách vận dụng công thức diện tích tam giác trong các bài toán lượng giác, và đặc biệt là làm quen với một trong những công thức lượng giác cơ bản nhất. Hãy tiếp tục luyện tập để nắm vững kiến thức nhé!