Chào các em học sinh lớp 9 thân mến!

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị liên quan đến số nguyên và tính chia hết. Đây là dạng bài thường gặp, yêu cầu chúng ta phải phân tích kỹ các điều kiện cho trước.

Đề bài:

Cho \(x, y \in N^*\) và \(x^2 + 2y^2\) chia hết cho \(xy\). Tính \(P = \frac{x^2 + 2y^2}{xy}\).

Lời giải chi tiết:

Trước hết, chúng ta cần hiểu rõ các ký hiệu và điều kiện đề bài cho:

• \(x, y \in N^*\): Điều này có nghĩa là \(x\) và \(y\) là các số nguyên dương (tức là \(1, 2, 3, …\)).
• \(x^2 + 2y^2\) chia hết cho \(xy\): Điều này có nghĩa là khi chúng ta lấy \(x^2 + 2y^2\) chia cho \(xy\), kết quả thu được phải là một số nguyên.

Biểu thức mà chúng ta cần tính là \(P = \frac{x^2 + 2y^2}{xy}\). Dựa vào điều kiện thứ hai, chúng ta biết rằng \(P\) phải là một số nguyên.

Bây giờ, chúng ta sẽ bắt đầu biến đổi biểu thức của \(P\):

\(P = \frac{x^2 + 2y^2}{xy}\)

Chúng ta có thể tách phân số này thành tổng của hai phân số để làm cho nó đơn giản hơn:

\(P = \frac{x^2}{xy} + \frac{2y^2}{xy}\)

Thực hiện rút gọn từng phân số:

\(P = \frac{x}{y} + \frac{2y}{x}\)

Vì \(x, y \in N^*\), tỉ số \(\frac{x}{y}\) là một số hữu tỉ dương. Để tiện lợi trong việc phân tích, chúng ta sẽ đặt \(\frac{x}{y} = q\).

Khi đó, \(\frac{y}{x}\) sẽ bằng \(\frac{1}{q}\).

Thay vào biểu thức của \(P\), ta có:

\(P = q + \frac{2}{q}\)

Như chúng ta đã phân tích ở trên, \(P\) phải là một số nguyên. Vậy, \(q + \frac{2}{q}\) phải là một số nguyên.

Vì \(q = \frac{x}{y}\) và \(x, y \in N^\), \(q\) là một số hữu tỉ dương. Chúng ta có thể biểu diễn \(q\) dưới dạng phân số tối giản \(\frac{a}{b}\), với \(a, b \in N^\) và \(a, b\) là hai số nguyên tố cùng nhau (tức là \(\text{ƯCLN}(a, b) = 1\)).

Thay \(q = \frac{a}{b}\) vào biểu thức của \(P\):

\(P = \frac{a}{b} + \frac{2}{\frac{a}{b}}\)

\(P = \frac{a}{b} + \frac{2b}{a}\)

Để cộng hai phân số này, chúng ta quy đồng mẫu số chung là \(ab\):

\(P = \frac{a \cdot a}{b \cdot a} + \frac{2b \cdot b}{a \cdot b}\)

\(P = \frac{a^2}{ab} + \frac{2b^2}{ab}\)

\(P = \frac{a^2 + 2b^2}{ab}\)

Vì \(P\) là một số nguyên, điều này có nghĩa là \(a^2 + 2b^2\) phải chia hết cho \(ab\).

Từ điều kiện \(a^2 + 2b^2\) chia hết cho \(ab\), chúng ta có thể suy ra hai điều quan trọng:

1. \(a^2 + 2b^2\) phải chia hết cho \(a\):
Chúng ta biết rằng \(a^2\) chắc chắn chia hết cho \(a\). Do đó, để tổng \(a^2 + 2b^2\) chia hết cho \(a\), thì phần còn lại là \(2b^2\) cũng phải chia hết cho \(a\).

Ta có \(\text{ƯCLN}(a, b) = 1\) (vì \(a/b\) là phân số tối giản). Điều này cũng có nghĩa là \(\text{ƯCLN}(a, b^2) = 1\).

Vì \(a\) chia hết \(2b^2\) và \(a\) không có ước chung nào với \(b^2\) ngoài 1, nên \(a\) phải là ước của 2.

Vì \(a \in N^*\), nên \(a\) có thể là 1 hoặc 2.

2. \(a^2 + 2b^2\) phải chia hết cho \(b\):
Tương tự, chúng ta biết rằng \(2b^2\) chắc chắn chia hết cho \(b\). Do đó, để tổng \(a^2 + 2b^2\) chia hết cho \(b\), thì phần còn lại là \(a^2\) cũng phải chia hết cho \(b\).

Ta có \(\text{ƯCLN}(a, b) = 1\), điều này cũng có nghĩa là \(\text{ƯCLN}(a^2, b) = 1\).

Vì \(b\) chia hết \(a^2\) và \(b\) không có ước chung nào với \(a^2\) ngoài 1, nên \(b\) phải là ước của 1.

Vì \(b \in N^*\), nên \(b\) chỉ có thể là 1.

Bây giờ, chúng ta sẽ kết hợp các giá trị có thể có của \(a\) và \(b\):

Trường hợp 1: \(a = 1\) và \(b = 1\).
Khi đó, \(q = \frac{a}{b} = \frac{1}{1} = 1\).

Mà \(q = \frac{x}{y}\), nên \(\frac{x}{y} = 1 \Rightarrow x = y\).

Thay \(x=y\) vào biểu thức \(P = \frac{x}{y} + \frac{2y}{x}\):
\(P = 1 + \frac{2y}{y} = 1 + 2 = 3\).

Hoặc chúng ta có thể tính trực tiếp từ \(P = \frac{a^2 + 2b^2}{ab} = \frac{1^2 + 2 \cdot 1^2}{1 \cdot 1} = \frac{1 + 2}{1} = 3\).

Trường hợp 2: \(a = 2\) và \(b = 1\).
Khi đó, \(q = \frac{a}{b} = \frac{2}{1} = 2\).

Mà \(q = \frac{x}{y}\), nên \(\frac{x}{y} = 2 \Rightarrow x = 2y\).

Thay \(x=2y\) vào biểu thức \(P = \frac{x}{y} + \frac{2y}{x}\):
\(P = 2 + \frac{2y}{2y} = 2 + 1 = 3\).

Hoặc chúng ta có thể tính trực tiếp từ \(P = \frac{a^2 + 2b^2}{ab} = \frac{2^2 + 2 \cdot 1^2}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 2}{2} = \frac{6}{2} = 3\).

Trong cả hai trường hợp có thể xảy ra, giá trị của \(P\) đều bằng 3.

Vậy, giá trị cần tìm của biểu thức \(P\) là 3.

Đáp số: \(P = 3\).

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Hãy nhớ rằng việc phân tích các điều kiện chia hết và rút gọn biểu thức là chìa khóa để giải quyết bài toán! Chúc các em học tốt!