Chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, cô sẽ hướng dẫn các em giải một bài toán rất thú vị về chuỗi số. Dạng bài này thường xuất hiện trong các kỳ thi và đòi hỏi chúng ta phải nắm vững một phương pháp đặc biệt. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Đề bài: Cho tổng \(S = \frac{2}{1 \times 4} + \frac{2}{4 \times 7} + \frac{2}{7 \times 10} + \dots + \frac{2}{43 \times 46}\). Hãy chứng minh \(S < \frac{2}{3}\).

Đây là một bài toán hay, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp “khử liên tiếp” hay còn gọi là phương pháp “tổng quát hóa số hạng” để giải quyết nhé.

Lời giải chi tiết:

Bước 1: Phân tích cấu trúc của từng số hạng trong tổng S.

Các em hãy quan sát kỹ các số hạng trong tổng S:

• Số hạng thứ nhất: \(\frac{2}{1 \times 4}\)
• Số hạng thứ hai: \(\frac{2}{4 \times 7}\)
• Số hạng thứ ba: \(\frac{2}{7 \times 10}\)
• …
• Số hạng cuối cùng: \(\frac{2}{43 \times 46}\)

Chúng ta nhận thấy rằng mẫu số của mỗi số hạng là tích của hai số, và hiệu của hai số đó luôn bằng 3 (ví dụ: \(4-1=3\), \(7-4=3\), \(10-7=3\), v.v.). Tử số luôn là 2.

Bước 2: Biến đổi tổng quát một số hạng.

Với một số hạng có dạng \(\frac{2}{n \times (n+3)}\), chúng ta có thể biến đổi nó như sau:

Ta biết rằng công thức tổng quát để tách một phân số dạng \(\frac{k}{a \times (a+k)}\) là \(\frac{1}{a} – \frac{1}{a+k}\). Tuy nhiên, để có được tử số là k, chúng ta phải nhân thêm 1/k.

Cụ thể với bài này, hiệu của hai thừa số dưới mẫu là 3 (tức là \(k=3\)). Tử số của chúng ta là 2.
Chúng ta sẽ nhân cả tử và mẫu với \(\frac{1}{3}\) rồi nhân với 3 ở tử số để đưa về dạng chuẩn:

\(\frac{2}{n \times (n+3)} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{n \times (n+3)}\)

Áp dụng công thức tách phân số \(\frac{k}{a \times (a+k)} = \frac{1}{a} – \frac{1}{a+k}\) (với \(a=n\) và \(k=3\)):

\(\frac{3}{n \times (n+3)} = \frac{1}{n} – \frac{1}{n+3}\)

Do đó, mỗi số hạng trong tổng S có thể được viết lại như sau:

\(\frac{2}{n \times (n+3)} = \frac{2}{3} \times \left( \frac{1}{n} – \frac{1}{n+3} \right)\)

Bước 3: Áp dụng biến đổi vào tất cả các số hạng trong tổng S.

Bây giờ, chúng ta sẽ viết lại tổng S bằng cách áp dụng công thức vừa tìm được cho từng số hạng:

\(S = \frac{2}{1 \times 4} + \frac{2}{4 \times 7} + \frac{2}{7 \times 10} + \dots + \frac{2}{43 \times 46}\)

\(S = \frac{2}{3} \times \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{4} \right) + \frac{2}{3} \times \left( \frac{1}{4} – \frac{1}{7} \right) + \frac{2}{3} \times \left( \frac{1}{7} – \frac{1}{10} \right) + \dots + \frac{2}{3} \times \left( \frac{1}{43} – \frac{1}{46} \right)\)

Bước 4: Rút gọn tổng S bằng phương pháp khử liên tiếp (telescoping sum).

Chúng ta nhận thấy rằng tất cả các số hạng đều có thừa số \(\frac{2}{3}\). Chúng ta có thể đặt \(\frac{2}{3}\) ra ngoài làm thừa số chung:

\(S = \frac{2}{3} \times \left[ \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{4} – \frac{1}{7} \right) + \left( \frac{1}{7} – \frac{1}{10} \right) + \dots + \left( \frac{1}{43} – \frac{1}{46} \right) \right]\)

Quan sát các số hạng trong dấu ngoặc vuông, chúng ta thấy có sự triệt tiêu lẫn nhau:

• \(\frac{1}{4}\) dương sẽ bị triệt tiêu bởi \(\frac{1}{4}\) âm ở số hạng trước đó.
• \(\frac{1}{7}\) dương sẽ bị triệt tiêu bởi \(\frac{1}{7}\) âm ở số hạng trước đó.
• Cứ như vậy cho đến \(\frac{1}{43}\) dương sẽ bị triệt tiêu bởi \(\frac{1}{43}\) âm.

Chỉ còn lại số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng không bị triệt tiêu:

\(S = \frac{2}{3} \times \left( \frac{1}{1} – \frac{1}{46} \right)\)

Bước 5: Tính giá trị của S.

\(S = \frac{2}{3} \times \left( \frac{46}{46} – \frac{1}{46} \right)\)

\(S = \frac{2}{3} \times \left( \frac{45}{46} \right)\)

\(S = \frac{2 \times 45}{3 \times 46}\)

\(S = \frac{90}{138}\)

Chúng ta có thể rút gọn phân số này bằng cách chia cả tử và mẫu cho ước chung lớn nhất của chúng (ở đây là 6):

\(S = \frac{90 \div 6}{138 \div 6}\)

\(S = \frac{15}{23}\)

Bước 6: So sánh S với \(\frac{2}{3}\).

Chúng ta cần chứng minh \(S < \frac{2}{3}\). Ta đã tính được \(S = \frac{15}{23}\).

Bây giờ, chúng ta so sánh \(\frac{15}{23}\) với \(\frac{2}{3}\) bằng cách quy đồng mẫu số hoặc so sánh tích chéo:

Cách 1: Quy đồng mẫu số:

Mẫu số chung nhỏ nhất của 23 và 3 là \(23 \times 3 = 69\).

\(\frac{15}{23} = \frac{15 \times 3}{23 \times 3} = \frac{45}{69}\)

\(\frac{2}{3} = \frac{2 \times 23}{3 \times 23} = \frac{46}{69}\)

Vì \(\frac{45}{69} < \frac{46}{69}\), nên \(\frac{15}{23} < \frac{2}{3}\).

Cách 2: So sánh tích chéo:

So sánh \(\frac{15}{23}\) và \(\frac{2}{3}\).

Ta xét tích \(15 \times 3\) và \(2 \times 23\).

\(15 \times 3 = 45\)

\(2 \times 23 = 46\)

Vì \(45 < 46\), suy ra \(\frac{15}{23} < \frac{2}{3}\).

Kết luận:

Vậy, chúng ta đã chứng minh được \(S = \frac{15}{23}\) và \(\frac{15}{23} < \frac{2}{3}\).

Do đó, \(S < \frac{2}{3}\) là đúng.

Hy vọng phần trình bày chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ cách giải bài toán nhé! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi lại cô nha.