Chào các em học sinh thân mến,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thực tế rất thú vị về hai bác nông dân bán trứng. Đây là dạng bài tập giúp chúng ta rèn luyện kỹ năng đặt ẩn và giải hệ phương trình, những kiến thức rất quan trọng trong chương trình Toán 9 của chúng ta.

Chúng ta hãy cùng phân tích bài toán nhé:

Phân tích bài toán và Đặt ẩn:

Để giải bài toán này, trước hết chúng ta cần đặt các đại lượng chưa biết thành các biến số.

• Gọi số trứng của người nông dân thứ nhất là \(x\) (quả).
• Gọi số trứng của người nông dân thứ hai là \(y\) (quả).

Theo đề bài, tổng số trứng của hai người là 100 quả, vậy ta có phương trình đầu tiên:

\(x + y = 100\) (Điều kiện: \(x, y\) là số nguyên dương và \(x \neq y\))

Hai người bán được một số tiền bằng nhau. Gọi số tiền mà mỗi người bán được là \(M\) (đồng).

Gọi giá bán mỗi quả trứng của người nông dân thứ nhất là \(P_1\) (đồng/quả).

Gọi giá bán mỗi quả trứng của người nông dân thứ hai là \(P_2\) (đồng/quả).

Vậy, số tiền mỗi người thu được là:

• Người thứ nhất: \(M = x \cdot P_1\)
• Người thứ hai: \(M = y \cdot P_2\)

Biểu diễn các dữ kiện khác thành phương trình:

Bây giờ, chúng ta sẽ xem xét lời nói của hai bác nông dân để thiết lập thêm các phương trình:

1. Lời của người thứ nhất: “Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của anh thì tôi bán được 90.000 đồng”.

Điều này có nghĩa là nếu người thứ nhất có \(y\) quả trứng (số trứng của người thứ hai) và bán với giá của chính mình (\(P_1\)), thì số tiền thu được là 90.000 đồng.

Ta có phương trình:

\(y \cdot P_1 = 90000\) (Phương trình 1)

2. Lời của người thứ hai: “Nếu số trứng của tôi bằng số trứng của chị thì tôi chỉ bán được 40.000 đồng”.

Tương tự, nếu người thứ hai có \(x\) quả trứng (số trứng của người thứ nhất) và bán với giá của chính mình (\(P_2\)), thì số tiền thu được là 40.000 đồng.

Ta có phương trình:

\(x \cdot P_2 = 40000\) (Phương trình 2)

Thiết lập hệ phương trình và Giải:

Chúng ta đã có các mối liên hệ sau:

1. \(x + y = 100\)
2. \(y \cdot P_1 = 90000\)
3. \(x \cdot P_2 = 40000\)
4. \(x \cdot P_1 = M\)
5. \(y \cdot P_2 = M\)

Từ (2), ta có giá bán của người thứ nhất là: \(P_1 = \frac{90000}{y}\)

Từ (3), ta có giá bán của người thứ hai là: \(P_2 = \frac{40000}{x}\)

Thay các giá trị \(P_1\) và \(P_2\) vào (4) và (5):

Từ (4): \(M = x \cdot \left(\frac{90000}{y}\right) \implies M = \frac{90000x}{y}\) (Phương trình A)

Từ (5): \(M = y \cdot \left(\frac{40000}{x}\right) \implies M = \frac{40000y}{x}\) (Phương trình B)

Vì số tiền \(M\) của cả hai người là bằng nhau, ta có thể cho Phương trình A bằng Phương trình B:

\(\frac{90000x}{y} = \frac{40000y}{x}\)

Nhân chéo hai vế, ta được:

\(90000x^2 = 40000y^2\)

Chia cả hai vế cho 10000:

\(9x^2 = 4y^2\)

Lấy căn bậc hai hai vế (vì \(x, y\) là số lượng trứng nên phải dương):

\(\sqrt{9x^2} = \sqrt{4y^2}\)

\(3x = 2y\) (Phương trình C)

Bây giờ, chúng ta có một hệ phương trình gồm hai ẩn \(x, y\):

1. \(x + y = 100\)

2. \(3x = 2y\)

Từ Phương trình C, ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\):

\(y = \frac{3}{2}x\)

Thế biểu thức của \(y\) vào phương trình \(x + y = 100\):

\(x + \frac{3}{2}x = 100\)

\(\frac{2x}{2} + \frac{3x}{2} = 100\)

\(\frac{5x}{2} = 100\)

\(5x = 100 \cdot 2\)

\(5x = 200\)

\(x = \frac{200}{5}\)

\(x = 40\)

Tìm \(y\) bằng cách thay \(x = 40\) vào phương trình \(y = \frac{3}{2}x\):

\(y = \frac{3}{2} \cdot 40\)

\(y = 3 \cdot 20\)

\(y = 60\)

Vậy, người nông dân thứ nhất có 40 quả trứng, và người nông dân thứ hai có 60 quả trứng. (Kiểm tra: \(40 + 60 = 100\). \(40 \neq 60\). Hợp lý!)

Tính giá bán mỗi quả trứng và tổng số tiền:

Đầu tiên, chúng ta tính tổng số tiền \(M\) mà mỗi người đã bán được. Chúng ta có thể dùng Phương trình A hoặc B.

Sử dụng Phương trình A: \(M = \frac{90000x}{y}\)

\(M = \frac{90000 \cdot 40}{60}\)

\(M = \frac{90000 \cdot 2}{3}\)

\(M = 30000 \cdot 2\)

\(M = 60000\) đồng.

Vậy, mỗi người nông dân bán được 60.000 đồng.

Bây giờ, tính giá bán mỗi quả trứng của từng người:

• Giá bán của người thứ nhất (\(P_1\)):

\(P_1 = \frac{M}{x} = \frac{60000}{40} = 1500\) đồng/quả.

• Giá bán của người thứ hai (\(P_2\)):

\(P_2 = \frac{M}{y} = \frac{60000}{60} = 1000\) đồng/quả.

Kiểm tra lại lời các bác nông dân:

• Người thứ nhất (có 40 trứng, bán giá 1500 đ/quả): Nếu có 60 trứng (số trứng của người kia), thì bán được \(60 \cdot 1500 = 90000\) đồng. (Đúng như lời bác nông dân nói).
• Người thứ hai (có 60 trứng, bán giá 1000 đ/quả): Nếu có 40 trứng (số trứng của người kia), thì bán được \(40 \cdot 1000 = 40000\) đồng. (Đúng như lời bác nông dân nói).

Kết luận:

Vậy, chúng ta đã tìm ra lời giải cho bài toán:

• Người nông dân thứ nhất có 40 quả trứng, và bán với giá 1500 đồng/quả.
• Người nông dân thứ hai có 60 quả trứng, và bán với giá 1000 đồng/quả.

Bài học hôm nay kết thúc tại đây. Các em nhớ ôn tập kỹ dạng bài này nhé! Nếu có thắc mắc, hãy hỏi thầy ngay.