Xin chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán thú vị về năng suất lao động.

Bài toán: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 6 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được 1/4 công việc. Hỏi mỗi người thợ làm một mình thì trong bao nhiêu giờ mới xong công việc đó?

Phân tích bài toán:

Đây là bài toán làm chung, làm riêng. Chúng ta cần tìm thời gian hoàn thành công việc của mỗi người thợ khi làm một mình.

Đặt ẩn:

Gọi \(x\) là số giờ người thứ nhất làm một mình thì xong công việc.

Gọi \(y\) là số giờ người thứ hai làm một mình thì xong công việc.

Biểu diễn năng suất:

Nếu người thứ nhất làm một mình thì xong công việc trong \(x\) giờ, thì trong 1 giờ, người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) công việc.

Nếu người thứ hai làm một mình thì xong công việc trong \(y\) giờ, thì trong 1 giờ, người thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) công việc.

Thiết lập phương trình dựa trên các điều kiện của bài toán:

Điều kiện 1: Hai người thợ cùng làm một công việc trong 6 giờ thì xong.

Trong 1 giờ, cả hai người làm được: \(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\) công việc.

Vì họ làm xong công việc trong 6 giờ, nên trong 1 giờ, họ làm được \(\frac{1}{6}\) công việc.

Ta có phương trình thứ nhất:

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \) (1)

Điều kiện 2: Nếu người thứ nhất làm 3 giờ và người thứ hai làm 6 giờ thì họ làm được 1/4 công việc.

Trong 3 giờ, người thứ nhất làm được \(3 \times \frac{1}{x} = \frac{3}{x}\) công việc.

Trong 6 giờ, người thứ hai làm được \(6 \times \frac{1}{y} = \frac{6}{y}\) công việc.

Tổng cộng, họ làm được \(\frac{1}{4}\) công việc.

Ta có phương trình thứ hai:

\( \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4} \) (2)

Giải hệ phương trình:

Chúng ta có hệ phương trình:

\( \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\ \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4} \end{cases} \)

Để giải hệ phương trình này, chúng ta có thể đặt ẩn phụ:

Đặt \( a = \frac{1}{x} \) và \( b = \frac{1}{y} \). Lưu ý rằng \(x > 0\) và \(y > 0\) vì thời gian phải dương.

Hệ phương trình trở thành:

\( \begin{cases} a + b = \frac{1}{6} \\ 3a + 6b = \frac{1}{4} \end{cases} \)

Chúng ta có thể giải hệ phương trình này bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số.

Cách 1: Phương pháp thế

Từ phương trình (1), ta rút ra \( a = \frac{1}{6} – b \).

Thế \(a\) vào phương trình (2):

\( 3 \left( \frac{1}{6} – b \right) + 6b = \frac{1}{4} \)
\( \frac{3}{6} – 3b + 6b = \frac{1}{4} \)
\( \frac{1}{2} + 3b = \frac{1}{4} \)
\( 3b = \frac{1}{4} – \frac{1}{2} \)
\( 3b = \frac{1}{4} – \frac{2}{4} \)
\( 3b = -\frac{1}{4} \)
\( b = -\frac{1}{12} \)

Kiểm tra lại phép tính: Có vẻ có sai sót ở đâu đó. Hãy kiểm tra lại.

Cách 2: Phương pháp nhân và cộng đại số

Nhân phương trình (1) với 3:

\( 3 \left( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \right) = 3 \times \frac{1}{6} \)
\( \frac{3}{x} + \frac{3}{y} = \frac{1}{2} \) (3)

Lấy phương trình (2) trừ đi phương trình (3):

\( \left( \frac{3}{x} + \frac{6}{y} \right) – \left( \frac{3}{x} + \frac{3}{y} \right) = \frac{1}{4} – \frac{1}{2} \)
\( \frac{3}{x} + \frac{6}{y} – \frac{3}{x} – \frac{3}{y} = \frac{1}{4} – \frac{2}{4} \)
\( \frac{6}{y} – \frac{3}{y} = -\frac{1}{4} \)
\( \frac{3}{y} = -\frac{1}{4} \)
\( y = -12 \)

Phát hiện sai sót: Tôi xin lỗi các em, có vẻ như tôi đã mắc một lỗi rất cơ bản trong quá trình thiết lập hoặc giải phương trình. Chúng ta hãy quay lại xem xét.

Xem xét lại dữ kiện và thiết lập phương trình:

Điều kiện 2: “Nếu người thứ nhất làm 3h và người thứ hai làm 6h thì họ làm được 1/4 công việc.”

Trong 3 giờ, người thứ nhất làm được: \( 3 \times \frac{1}{x} = \frac{3}{x} \).

Trong 6 giờ, người thứ hai làm được: \( 6 \times \frac{1}{y} = \frac{6}{y} \).

Tổng cộng là 1/4 công việc: \( \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4} \).

Phương trình này là chính xác.

Xem xét lại phương pháp giải hệ ẩn phụ:

\( \begin{cases} a + b = \frac{1}{6} \\ 3a + 6b = \frac{1}{4} \end{cases} \)

Nhân phương trình \( a + b = \frac{1}{6} \) với 3:

\( 3a + 3b = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \) (3′)

Trừ phương trình (3′) từ phương trình \( 3a + 6b = \frac{1}{4} \):

\( (3a + 6b) – (3a + 3b) = \frac{1}{4} – \frac{1}{2} \)
\( 3b = \frac{1}{4} – \frac{2}{4} \)
\( 3b = -\frac{1}{4} \)
\( b = -\frac{1}{12} \)

Vẫn ra kết quả âm, điều này là không thể với \(b = \frac{1}{y}\).

Có thể đề bài có nhầm lẫn ở đâu đó chăng?

Hãy thử kiểm tra lại yêu cầu của đề bài: “Hỏi mỗi người thợ làm một mình thì trong bao nhiêu giờ mới xong công việc đó.”

Thử kiểm tra lại với một trường hợp giả định:

Nếu người thứ nhất làm 3h và người thứ hai làm 6h làm được 1/4 công việc.

Nếu người thứ nhất và thứ hai làm chung 6h xong.

Tìm lỗi sai trong suy luận:

Năng suất của người thứ nhất là \( \frac{1}{x} \), năng suất của người thứ hai là \( \frac{1}{y} \).

Tổng năng suất khi làm chung là \( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \).

Khi họ làm chung trong 6h thì xong, có nghĩa là tổng năng suất nhân với thời gian bằng 1 công việc.

\( (\frac{1}{x} + \frac{1}{y}) \times 6 = 1 \implies \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \).

Khi người thứ nhất làm 3h, người thứ hai làm 6h, họ làm được 1/4 công việc.

Nghĩa là: \( 3 \times \frac{1}{x} + 6 \times \frac{1}{y} = \frac{1}{4} \).

Tôi đã phát hiện ra lỗi sai của mình!

Trong phương trình thứ hai, tôi đã nhầm lẫn khi trừ:

Lấy phương trình \( \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4} \) (2) trừ đi phương trình \( \frac{3}{x} + \frac{3}{y} = \frac{1}{2} \) (3′).

Phép trừ này là đúng: \( \frac{6}{y} – \frac{3}{y} = \frac{3}{y} \).

Và vế phải là: \( \frac{1}{4} – \frac{1}{2} = \frac{1}{4} – \frac{2}{4} = -\frac{1}{4} \).

Vậy \( \frac{3}{y} = -\frac{1}{4} \) vẫn dẫn đến \( y \) âm.

Xem lại cách đặt ẩn phụ và giải hệ phương trình:

\( \begin{cases} a + b = \frac{1}{6} \\ 3a + 6b = \frac{1}{4} \end{cases} \)

Nhân phương trình trên cho 6:

\( 6a + 6b = 6 \times \frac{1}{6} = 1 \) (4)

Trừ phương trình (2) \( 3a + 6b = \frac{1}{4} \) từ phương trình (4):

\( (6a + 6b) – (3a + 6b) = 1 – \frac{1}{4} \)
\( 3a = \frac{3}{4} \)
\( a = \frac{1}{4} \)

Thay \( a = \frac{1}{4} \) vào phương trình \( a + b = \frac{1}{6} \):

\( \frac{1}{4} + b = \frac{1}{6} \)
\( b = \frac{1}{6} – \frac{1}{4} \)
\( b = \frac{2}{12} – \frac{3}{12} \)
\( b = -\frac{1}{12} \)

Vẫn ra kết quả âm cho b. Điều này cho thấy đề bài có thể có dữ kiện mâu thuẫn hoặc tôi vẫn đang mắc lỗi trong suy luận.

Hãy kiểm tra lại đề bài một lần nữa: “Hai người thợ cùng làm một công việc trong 6h thì xong. Nếu người thứ nhất làm 3h và người thứ hai làm 6h thì họ làm được 1/4 công việc.”

Suy luận khác:

Gọi năng suất của người thứ nhất là \(N_1\) (công việc/giờ), năng suất của người thứ hai là \(N_2\) (công việc/giờ).

Từ điều kiện 1: \( (N_1 + N_2) \times 6 = 1 \implies N_1 + N_2 = \frac{1}{6} \).

Từ điều kiện 2: \( N_1 \times 3 + N_2 \times 6 = \frac{1}{4} \).

Ta có hệ phương trình:

\( \begin{cases} N_1 + N_2 = \frac{1}{6} \\ 3N_1 + 6N_2 = \frac{1}{4} \end{cases} \)

Đây chính là hệ phương trình với \(a=N_1\) và \(b=N_2\), mà tôi đã giải và gặp vấn đề.

Có thể đề bài có sự nhầm lẫn về số liệu. Tuy nhiên, với vai trò là giáo viên, tôi sẽ cố gắng tìm ra lời giải đúng với đề bài được cho.

Quay lại cách giải hệ phương trình bằng ẩn \(x\) và \(y\):

\( \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\ \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4} \end{cases} \)

Nhân phương trình (1) với 6:

\( \frac{6}{x} + \frac{6}{y} = \frac{6}{6} = 1 \) (5)

Trừ phương trình (2) \( \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4} \) từ phương trình (5):

\( \left( \frac{6}{x} + \frac{6}{y} \right) – \left( \frac{3}{x} + \frac{6}{y} \right) = 1 – \frac{1}{4} \)
\( \frac{6}{x} – \frac{3}{x} = \frac{3}{4} \)
\( \frac{3}{x} = \frac{3}{4} \)
\( x = 4 \)

Tuyệt vời! Chúng ta đã tìm được giá trị của \(x\). Bây giờ, thay \(x = 4\) vào phương trình (1):

\( \frac{1}{4} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \)
\( \frac{1}{y} = \frac{1}{6} – \frac{1}{4} \)
\( \frac{1}{y} = \frac{2}{12} – \frac{3}{12} \)
\( \frac{1}{y} = -\frac{1}{12} \)

Vẫn ra kết quả âm cho \(y\). Điều này chứng tỏ đề bài có dữ kiện không hợp lý, dẫn đến kết quả không thể chấp nhận được trong thực tế (thời gian phải dương).

Tuy nhiên, nếu giả định rằng chúng ta đã làm đúng các bước và có thể có lỗi trong đề bài, thì kết quả của tôi là:

Người thứ nhất làm một mình thì trong 4 giờ sẽ xong công việc.

Tuy nhiên, kết quả cho người thứ hai là \(y = -12\), điều này là vô lý.

Khả năng cao là đề bài có sự nhầm lẫn ở con số “1/4 công việc”.

Nếu giả sử đề bài là: “Nếu người thứ nhất làm 3h và người thứ hai làm 6h thì họ làm được 1/2 công việc.”

Khi đó, phương trình (2) sẽ là: \( \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{2} \).

Hệ phương trình trở thành:

\( \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\ \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{2} \end{cases} \)

Nhân phương trình (1) với 6:

\( \frac{6}{x} + \frac{6}{y} = 1 \) (5)

Trừ phương trình \( \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{2} \) từ phương trình (5):

\( \left( \frac{6}{x} + \frac{6}{y} \right) – \left( \frac{3}{x} + \frac{6}{y} \right) = 1 – \frac{1}{2} \)
\( \frac{3}{x} = \frac{1}{2} \)
\( x = 6 \)

Thay \(x = 6\) vào phương trình (1):

\( \frac{1}{6} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \)
\( \frac{1}{y} = 0 \)

Điều này cũng không hợp lý vì \( \frac{1}{y} \) không thể bằng 0.

Tôi xin lỗi các em, với đề bài gốc, tôi không tìm được lời giải hợp lý. Có thể đề bài có dữ kiện mâu thuẫn hoặc sai sót.

Tuy nhiên, tôi sẽ trình bày lại cách giải bài toán dạng này với giả định rằng dữ kiện là hợp lý, để các em nắm được phương pháp.

Tóm tắt phương pháp giải với đề bài gốc (dù ra kết quả không hợp lý):

Bước 1: Đặt ẩn và biểu diễn năng suất.

Gọi \(x\) là thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc (\(x>0\)).

Gọi \(y\) là thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc (\(y>0\)).

Năng suất người thứ nhất: \( \frac{1}{x} \) (công việc/giờ).

Năng suất người thứ hai: \( \frac{1}{y} \) (công việc/giờ).

Bước 2: Lập hệ phương trình dựa trên các điều kiện.

Điều kiện 1: Hai người thợ cùng làm 6 giờ thì xong.

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \) (1)

Điều kiện 2: Người thứ nhất làm 3 giờ, người thứ hai làm 6 giờ thì được 1/4 công việc.

\( \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4} \) (2)

Bước 3: Giải hệ phương trình.

Hệ phương trình:

\( \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \\ \frac{3}{x} + \frac{6}{y} = \frac{1}{4} \end{cases} \)

Nhân phương trình (1) với 6:

\( \frac{6}{x} + \frac{6}{y} = 1 \) (5)

Trừ phương trình (2) từ phương trình (5):

\( \left( \frac{6}{x} + \frac{6}{y} \right) – \left( \frac{3}{x} + \frac{6}{y} \right) = 1 – \frac{1}{4} \)
\( \frac{3}{x} = \frac{3}{4} \)
\( x = 4 \)

Thay \(x = 4\) vào phương trình (1):

\( \frac{1}{4} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6} \)
\( \frac{1}{y} = \frac{1}{6} – \frac{1}{4} = \frac{2-3}{12} = -\frac{1}{12} \)

Suy ra \( y = -12 \).

Kết luận:

Với đề bài đã cho, kết quả tính toán cho thấy \(x = 4\) giờ và \(y = -12\) giờ. Tuy nhiên, thời gian để hoàn thành công việc phải là một số dương. Do đó, đề bài này có thể chứa đựng dữ kiện không hợp lý hoặc mâu thuẫn.

Nếu đây là một bài kiểm tra, các em nên chỉ ra rằng đề bài có vấn đề và không có lời giải thực tế.

Tuy nhiên, nếu giả định rằng các phép tính là đúng và chúng ta chỉ cần trả lời theo kết quả:

Người thứ nhất làm một mình thì trong 4 giờ sẽ xong công việc.

Đối với người thứ hai, kết quả là \(y = -12\) giờ, điều này là không thể.

Các em hãy ghi nhớ phương pháp giải bài toán làm chung, làm riêng. Nếu gặp phải đề bài có kết quả vô lý, hãy mạnh dạn chỉ ra điều đó.

Bài học hôm nay đến đây là kết thúc. Các em về nhà ôn tập kiến thức về hệ phương trình và các bài toán năng suất.