Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn
$$ \dfrac{2}{n^3+3} , \quad \dfrac{3}{n^3+5}...

Question

Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn
$$ \dfrac{2}{n^3+3} , \quad \dfrac{3}{n^3+5}, \dots  , \dfrac{22}{n^3+ 43}$$ đều tối giản
Tìm $n_{min}$

Giáo viên Chuyên Môn · Accepted Answer

Chào các em học sinh yêu quý của cô! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán số học thú vị nhé. Bài toán yêu cầu chúng ta tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất để một dãy các phân số đều là phân số tối giản.

Trước hết, chúng ta hãy cùng phân tích đề bài:

Chúng ta có một dãy các phân số: $ \dfrac{2}{n^3+3} , \quad \dfrac{3}{n^3+5}, \dots , \dfrac{22}{n^3+ 43}$

Bước 1: Tìm quy luật của các phân số trong dãy.
Quan sát dãy, ta thấy tử số là các số tự nhiên liên tiếp từ 2 đến 22.
Mẫu số có dạng $n^3 + \text{một số nào đó}$.
Đây là một cấp số cộng với số hạng đầu là 3 và công sai là $5-3=2$.
Nếu gọi tử số là $k$, thì $k$ chạy từ 2 đến 22.
Với $k=2$, số ở mẫu là 3. (Mối liên hệ: $2k-1 = 2(2)-1 = 3$).
Với $k=3$, số ở mẫu là 5. (Mối liên hệ: $2k-1 = 2(3)-1 = 5$).
Với $k=22$, số ở mẫu là 43. (Mối liên hệ: $2k-1 = 2(22)-1 = 43$).
Vậy, các phân số trong dãy có dạng chung là $ \dfrac{k}{n^3 + 2k - 1} $ với $k \in \{2, 3, \dots, 22\}$.

Bước 2: Điều kiện để phân số là tối giản.
Một phân số $ \dfrac{A}{B} $ được gọi là tối giản khi và chỉ khi ước chung lớn nhất (ƯCLN) của tử số và mẫu số bằng 1, tức là $\text{ƯCLN}(A, B) = 1$.
Trong bài toán này, mỗi phân số $ \dfrac{k}{n^3 + 2k - 1} $ phải tối giản. Do đó, ta phải có:
$ \text{ƯCLN}(k, n^3 + 2k - 1) = 1 $ với mọi $k \in \{2, 3, \dots, 22\}$.

Bước 3: Rút gọn điều kiện ƯCLN.
Chúng ta biết một tính chất của ƯCLN là: $\text{ƯCLN}(A, B) = \text{ƯCLN}(A, B - cA)$ với $c$ là một số nguyên bất kỳ.
Áp dụng tính chất này, ta có:
$ \text{ƯCLN}(k, n^3 + 2k - 1) = \text{ƯCLN}(k, (n^3 + 2k - 1) - 2k) $ (chọn $c=2$)
$ = \text{ƯCLN}(k, n^3 - 1)$
Vậy, điều kiện để các phân số tối giản trở thành:
$ \text{ƯCLN}(k, n^3 - 1) = 1 $ với mọi $k \in \{2, 3, \dots, 22\}$.

Điều này có nghĩa là $n^3 - 1$ không được chia hết cho bất kỳ ước số nguyên tố nào của $k$, với mọi $k$ từ 2 đến 22.
Chúng ta chỉ cần xem xét các số nguyên tố $p$ mà $p \le 22$. Các số nguyên tố này là:
$2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19$.
Nếu $n^3 - 1$ không chia hết cho các số nguyên tố này, thì nó sẽ không chia hết cho bất kỳ số $k$ nào trong khoảng từ 2 đến 22 (hoặc nói đúng hơn là không chia hết cho bất kỳ ước nguyên tố nào của $k$).
Vì vậy, điều kiện cuối cùng là: $n^3 - 1$ không chia hết cho 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19.

Bước 4: Tìm giá trị $n_{min}$ thỏa mãn điều kiện.
Chúng ta sẽ xét từng số nguyên tố một:

Với số nguyên tố 2:
Để $n^3 - 1$ không chia hết cho 2, thì $n^3 - 1$ phải là số lẻ. Điều này có nghĩa là $n^3$ phải là số chẵn. Mà $n^3$ là số chẵn khi và chỉ khi $n$ là số chẵn.
Vậy, $n$ phải là một số chẵn.

Với số nguyên tố 3:
Để $n^3 - 1$ không chia hết cho 3, thì $n^3 - 1 \not\equiv 0 \pmod 3$, hay $n^3 \not\equiv 1 \pmod 3$.
Nếu $n \equiv 0 \pmod 3$, thì $n^3 \equiv 0^3 \equiv 0 \pmod 3$. (Thỏa mãn)
Nếu $n \equiv 1 \pmod 3$, thì $n^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \pmod 3$. (Không thỏa mãn)
Nếu $n \equiv 2 \pmod 3$, thì $n^3 \equiv 2^3 \equiv 8 \equiv 2 \pmod 3$. (Thỏa mãn)
Vậy, $n$ không được có dạng $3m+1$, hay $n \not\equiv 1 \pmod 3$.

Với số nguyên tố 5:
Để $n^3 - 1$ không chia hết cho 5, thì $n^3 \not\equiv 1 \pmod 5$.
Nếu $n \equiv 1 \pmod 5$, thì $n^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \pmod 5$. (Không thỏa mãn)
Vậy, $n \not\equiv 1 \pmod 5$.

Với số nguyên tố 7:
Để $n^3 - 1$ không chia hết cho 7, thì $n^3 \not\equiv 1 \pmod 7$.
Các giá trị của $n^3 \pmod 7$:
$0^3 \equiv 0 \pmod 7$
$1^3 \equiv 1 \pmod 7$ (Không thỏa mãn)
$2^3 = 8 \equiv 1 \pmod 7$ (Không thỏa mãn)
$3^3 = 27 \equiv 6 \pmod 7$
$4^3 = 64 \equiv 1 \pmod 7$ (Không thỏa mãn)
$5^3 = 125 \equiv 6 \pmod 7$
$6^3 = 216 \equiv 6 \pmod 7$
Vậy, $n \not\equiv 1, 2, 4 \pmod 7$.

Với số nguyên tố 11:
Để $n^3 - 1$ không chia hết cho 11, thì $n^3 \not\equiv 1 \pmod{11}$.
Nếu $n \equiv 1 \pmod{11}$, thì $n^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \pmod{11}$. (Không thỏa mãn)
Vậy, $n \not\equiv 1 \pmod{11}$.

Với số nguyên tố 13:
Để $n^3 - 1$ không chia hết cho 13, thì $n^3 \not\equiv 1 \pmod{13}$.
Các giá trị của $n^3 \pmod{13}$:
$1^3 \equiv 1 \pmod{13}$ (Không thỏa mãn)
$3^3 = 27 \equiv 1 \pmod{13}$ (Không thỏa mãn)
$9^3 = 729 = 56 \times 13 + 1 \equiv 1 \pmod{13}$ (Không thỏa mãn)
Vậy, $n \not\equiv 1, 3, 9 \pmod{13}$.

Với số nguyên tố 17:
Để $n^3 - 1$ không chia hết cho 17, thì $n^3 \not\equiv 1 \pmod{17}$.
Nếu $n \equiv 1 \pmod{17}$, thì $n^3 \equiv 1^3 \equiv 1 \pmod{17}$. (Không thỏa mãn)
Vậy, $n \not\equiv 1 \pmod{17}$.

Với số nguyên tố 19:
Để $n^3 - 1$ không chia hết cho 19, thì $n^3 \not\equiv 1 \pmod{19}$.
Các giá trị của $n^3 \pmod{19}$:
$1^3 \equiv 1 \pmod{19}$ (Không thỏa mãn)
$7^3 = 343 = 18 \times 19 + 1 \equiv 1 \pmod{19}$ (Không thỏa mãn)
$11^3 = 1331 = 70 \times 19 + 1 \equiv 1 \pmod{19}$ (Không thỏa mãn)
Vậy, $n \not\equiv 1, 7, 11 \pmod{19}$.

Tổng hợp các điều kiện cho $n$:

$n \equiv 0 \pmod 2$
$n \not\equiv 1 \pmod 3$
$n \not\equiv 1 \pmod 5$
$n \not\equiv 1, 2, 4 \pmod 7$
$n \not\equiv 1 \pmod{11}$
$n \not\equiv 1, 3, 9 \pmod{13}$
$n \not\equiv 1 \pmod{17}$
$n \not\equiv 1, 7, 11 \pmod{19}$

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất (bắt đầu từ $n=1$) thỏa mãn tất cả các điều kiện trên.
Vì $n$ là số chẵn, chúng ta chỉ cần kiểm tra các số chẵn:

$n=1$: (Không thỏa mãn $n \equiv 0 \pmod 2$)
$n=2$:
    
        $2 \equiv 0 \pmod 2$ (OK)
        $2 \equiv 2 \pmod 3$ (OK)
        $2 \equiv 2 \pmod 5$ (OK)
        $2 \equiv 2 \pmod 7$ (KHÔNG THỎA MÃN $n \not\equiv 2 \pmod 7$)

$n=4$:
    
        $4 \equiv 0 \pmod 2$ (OK)
        $4 \equiv 1 \pmod 3$ (KHÔNG THỎA MÃN $n \not\equiv 1 \pmod 3$)

$n=6$:
    
        $6 \equiv 0 \pmod 2$ (OK)
        $6 \equiv 0 \pmod 3$ (OK)
        $6 \equiv 1 \pmod 5$ (KHÔNG THỎA MÃN $n \not\equiv 1 \pmod 5$)

$n=8$:
    
        $8 \equiv 0 \pmod 2$ (OK)
        $8 \equiv 2 \pmod 3$ (OK)
        $8 \equiv 3 \pmod 5$ (OK)
        $8 \equiv 1 \pmod 7$ (KHÔNG THỎA MÃN $n \not\equiv 1 \pmod 7$)

$n=10$:
    
        $10 \equiv 0 \pmod 2$ (OK)
        $10 \equiv 1 \pmod 3$ (KHÔNG THỎA MÃN $n \not\equiv 1 \pmod 3$)

$n=12$:
    
        $12 \equiv 0 \pmod 2$ (OK)
        $12 \equiv 0 \pmod 3$ (OK)
        $12 \equiv 2 \pmod 5$ (OK)
        $12 \equiv 5 \pmod 7$ (OK)
        $12 \equiv 1 \pmod{11}$ (KHÔNG THỎA MÃN $n \not\equiv 1 \pmod{11}$)

$n=14$:
    
        $14 \equiv 0 \pmod 2$ (OK)
        $14 \equiv 2 \pmod 3$ (OK)
        $14 \equiv 4 \pmod 5$ (OK)
        $14 \equiv 0 \pmod 7$ (OK)
        $14 \equiv 3 \pmod{11}$ (OK)
        $14 \equiv 1 \pmod{13}$ (KHÔNG THỎA MÃN $n \not\equiv 1 \pmod{13}$)

$n=16$:
    
        $16 \equiv 0 \pmod 2$ (OK)
        $16 \equiv 1 \pmod 3$ (KHÔNG THỎA MÃN $n \not\equiv 1 \pmod 3$)

$n=18$:
    
        $18 \equiv 0 \pmod 2$ (OK)
        $18 \equiv 0 \pmod 3$ (OK)
        $18 \equiv 3 \pmod 5$ (OK)
        $18 \equiv 4 \pmod 7$ (KHÔNG THỎA MÃN $n \not\equiv 4 \pmod 7$)

$n=20$:
    
        $20 \equiv 0 \pmod 2$ (OK)
        $20 \equiv 2 \pmod 3$ (OK)
        $20 \equiv 0 \pmod 5$ (OK)
        $20 \equiv 6 \pmod 7$ (OK)
        $20 \equiv 9 \pmod{11}$ (OK)
        $20 \equiv 7 \pmod{13}$ (OK)
        $20 \equiv 3 \pmod{17}$ (OK)
        $20 \equiv 1 \pmod{19}$ (KHÔNG THỎA MÃN $n \not\equiv 1 \pmod{19}$)

$n=22$:
    
        $22 \equiv 0 \pmod 2$ (OK)
        $22 \equiv 1 \pmod 3$ (KHÔNG THỎA MÃN $n \not\equiv 1 \pmod 3$)

$n=24$:
    
        $24 \equiv 0 \pmod 2$ (OK)
        $24 \equiv 0 \pmod 3$ (OK)
        $24 \equiv 4 \pmod 5$ (OK)
        $24 \equiv 3 \pmod 7$ (OK)
        $24 \equiv 2 \pmod{11}$ (OK)
        $24 \equiv 11 \pmod{13}$ (OK)
        $24 \equiv 7 \pmod{17}$ (OK)
        $24 \equiv 5 \pmod{19}$ (OK)

Tất cả các điều kiện đều được thỏa mãn với $n=24$.

Vậy, số nguyên dương $n$ nhỏ nhất thỏa mãn yêu cầu đề bài là 24.

Kết luận: $n_{min} = 24$.

Các em nhớ rằng, khi giải các bài toán về ƯCLN và phân số tối giản, việc tìm cách rút gọn điều kiện là rất quan trọng để bài toán trở nên đơn giản hơn. Sau đó, việc kiểm tra từng trường hợp theo điều kiện đã rút gọn sẽ giúp chúng ta tìm ra lời giải chính xác. Chúc các em học tốt!

Duy Cương · Answer

Các số có dạng tổng quát: $k/(n^3+2k-1)$ với $k in {2, 3, ..., 22}$ Để các phân số đều tối giản $<=>"UCLN"(k, n^3+2k-1)=1, AAk in {2, 3, ..., 22}$ $<=> "UCLN"(k, n^3-1)= 1, AAk in {2, 3, ..., 22}$ (thuật toán Euclide) $<=> n^3-1=(n-1)(n^2+n+1)$ không có ước nguyên tố $p <= 22$ $<=> n-1$ không có ước nguyên tố $<= 22$ Ta có $n in ZZ^+=>n-1 >= 0$, xét: $n-1=0 => n=1 => n^3-1=0$ (loại vì $"UCLN"(k, 0)=k != 1$) $n-1=1 => n=2 => n^3-1=7$ (loại vì $k=7 => "UCLN"(7, 7)=7 != 1$) $=>n-1 >= 2$ Vì $n-1$ không có ước nguyên tố $<= 22$ nên ước nguyên tố nhỏ nhất phải $>=23$ trở lên $=> n-1 >= 23$ $=> n >= 24$ Với $n=24, n^3-1=23*577$ $("T/M")$ Vậy $n_min=24$

Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $$ \dfrac{2}{n^3+3} , \quad \dfrac{3}{n^3+5}…

Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn $$ \dfrac{2}{n^3+3} , \quad \dfrac{3}{n^3+5}…

Cho $n$ là số nguyên dương thỏa mãn
$$ \dfrac{2}{n^3+3} , \quad \dfrac{3}{n^3+5}…

Về tác giả

về tác giả

Thiên Nam

Add comment Hủy

Giao Hàng Nhanh Chóng

Trả Lại Dễ Dàng Và Nhanh Chóng

Hỗ Trợ Khách Hàng 24/7

Thanh Toán An Toàn 100%

Vị trí