Chào các em học sinh lớp 11!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải bài tập tìm giá trị lớn nhất (GTLN) của một hàm số lượng giác. Bài toán của chúng ta là:

Tìm GTLN của hàm số: y = \(sin^{2}x\) + cos x – 3.

Để giải bài toán này, thầy sẽ hướng dẫn các em từng bước một cách chi tiết.

Bước 1: Biến đổi hàm số về một hàm theo một tỉ số lượng giác duy nhất.

Chúng ta thấy trong hàm số có cả \(sin^{2}x\) và cos x. Để tiện cho việc khảo sát, chúng ta sẽ cố gắng đưa về chỉ còn một trong hai tỉ số lượng giác này. Nhớ lại công thức lượng giác cơ bản:

\(sin^{2}x\) + \(cos^{2}x\) = 1

Từ đây, ta suy ra: \(sin^{2}x\) = 1 – \(cos^{2}x\)

Bây giờ, ta thay biểu thức này vào hàm số y:

y = (1 – \(cos^{2}x\)) + cos x – 3

y = 1 – \(cos^{2}x\) + cos x – 3

y = – \(cos^{2}x\) + cos x – 2

Bước 2: Đặt biến phụ để đưa về bài toán tìm GTLN của một tam thức bậc hai.

Bây giờ, hàm số của chúng ta chỉ còn phụ thuộc vào cos x. Ta sẽ đặt t = cos x.
Lưu ý quan trọng: Vì x là một số thực bất kỳ, nên giá trị của cos x luôn nằm trong đoạn [-1, 1]. Do đó, t ∈ [-1, 1].

Thay t vào hàm số y, ta được một hàm số mới theo biến t:

y = – t\(^{2}\) + t – 2

Bây giờ, bài toán của chúng ta đã trở thành: Tìm GTLN của hàm số y = – t\(^{2}\) + t – 2 với t ∈ [-1, 1].

Bước 3: Tìm GTLN của tam thức bậc hai trên một đoạn.

Hàm số y = – t\(^{2}\) + t – 2 là một tam thức bậc hai với hệ số a = -1, b = 1, c = -2.
Vì hệ số a = -1 < 0, parabol của hàm số này sẽ có bề lõm quay xuống, nghĩa là nó có một điểm cực đại.

Để tìm giá trị lớn nhất, chúng ta cần xét xem đỉnh của parabol có nằm trong đoạn [-1, 1] hay không.

Hoành độ đỉnh của parabol được tính bằng công thức: t\(_{đỉnh}\) = -b / (2a)

t\(_{đỉnh}\) = -1 / (2 * (-1)) = -1 / (-2) = 1/2

Ta thấy t\(_{đỉnh}\) = 1/2 nằm trong đoạn [-1, 1].

Vì đỉnh của parabol nằm trong đoạn [-1, 1] và bề lõm quay xuống, nên giá trị lớn nhất của hàm số y = – t\(^{2}\) + t – 2 trên đoạn [-1, 1] sẽ đạt được tại đỉnh.

Giá trị lớn nhất của y chính là giá trị của hàm số tại t = 1/2:

y_{max} = – (1/2)\(^2\) + (1/2) – 2

y_{max} = – 1/4 + 1/2 – 2

y_{max} = – 1/4 + 2/4 – 8/4

y_{max} = (-1 + 2 – 8) / 4

y_{max} = -7/4

Bước 4: Kết luận.

Vậy, giá trị lớn nhất của hàm số y = \(sin^{2}x\) + cos x – 3 là -7/4.

Các em hãy xem lại các bước làm và ghi nhớ cách giải dạng bài này nhé!