Xin chào các em học sinh lớp 5! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một bài toán tính tổng phân số khá thú vị. Cô tin là với sự hướng dẫn chi tiết của cô, các em sẽ làm được thôi.

Bài toán của chúng ta hôm nay là:

\(B = 5/(2xx1) + 4/(1xx11) + 3/(11xx2) + 1/(2xx15) + 13/(15xx4)\)

Các em nhìn vào bài toán này, thấy có gì đặc biệt không nào? Các mẫu số có vẻ hơi phức tạp đúng không? Tuy nhiên, chúng ta sẽ không quy đồng mẫu số đâu nhé. Cô sẽ hướng dẫn các em cách “biến đổi” các phân số này để bài toán trở nên đơn giản hơn.

Chúng ta sẽ áp dụng một kỹ thuật gọi là “tách phân số”. Ý tưởng ở đây là chúng ta sẽ cố gắng viết lại mỗi phân số sao cho tử số là hiệu của hai số ở mẫu số, hoặc một số nào đó liên quan. Khi đó, chúng ta có thể tách nó ra thành hiệu của hai phân số.

Bây giờ, chúng ta cùng xem xét từng phân số một:

Phân số thứ nhất: \(5/(2xx1)\)

Ta thấy \(2 – 1 = 1\). Tử số là 5. Làm sao để 5 có thể liên quan đến 1? Chúng ta có thể viết lại phân số này như sau:

\(5/(2xx1) = (2-1) \times 5 / (2xx1)\)

Bây giờ, ta chia cả tử và mẫu cho 5:

\(5/(2xx1) = (2-1) / (2xx1)\)

Và tách nó ra thành hiệu hai phân số:

\((2-1)/(2xx1) = 2/(2xx1) – 1/(2xx1)\)

Rút gọn mỗi phân số:

\(2/(2xx1) = 1/1 = 1\)

\(1/(2xx1) = 1/2\)

Vậy, phân số đầu tiên có thể viết lại là: \(1 – 1/2\)

Phân số thứ hai: \(4/(1xx11)\)

Ta thấy \(11 – 1 = 10\). Tử số là 4. Làm sao để 4 có thể liên quan đến 10? Chúng ta có thể nghĩ đến việc làm cho tử số trở thành hiệu của hai số ở mẫu. Tuy nhiên, ở đây có một cách khác nhanh hơn. Nếu ta để ý, \(11-1=10\), mà tử số là 4. Nếu ta nhân cả tử và mẫu với 5, ta sẽ có \(20/(5xx11)\). Tuy nhiên, cách đó không hiệu quả lắm.

Chúng ta hãy thử một cách nhìn khác: \(11 – 1 = 10\). Tử số là 4. Nếu ta viết lại thành \((11-1)/10 = 10/10 = 1\). Vậy ta có thể viết phân số thứ hai là \(4/(1xx11)\). Ta thấy \(11-1=10\). Tử số là 4. Nếu ta chia cả tử và mẫu cho 10, ta được \(0.4 / (1xx1.1)\), không hay.

Chúng ta hãy nhìn vào các phân số khác để tìm ra quy luật. Có lẽ bài toán này có một cách giải chung cho tất cả.

Nhận xét chung:

Các em hãy nhìn lại các mẫu số: \(2xx1\), \(1xx11\), \(11xx2\), \(2xx15\), \(15xx4\). Dường như có sự xuất hiện lại của các số.

Chúng ta hãy thử cách tách phân số dựa trên hiệu của hai thừa số ở mẫu:

Phân số thứ nhất: \(5/(2xx1)\)

Ta có \(2 – 1 = 1\). Tử số là 5. Để tách, ta muốn tử số là hiệu của hai số ở mẫu. Hãy thử nghĩ ngược lại: phân số có dạng \(a/(bxx(b-a))\) thì bằng \(1/b – 1/(b-a)\). Ở đây ta có \(2xx1\). Nếu ta coi \(b=2\), thì \(b-a=1\), suy ra \(a=1\). Vậy ta có phân số dạng \(1/(2xx1)\). Nhưng tử số của chúng ta là 5.

Chúng ta hãy thử làm cho tử số giống hiệu của hai thừa số ở mẫu:

\(5/(2xx1) = 5 \times (2-1) / (2xx1)\). Chia cả tử và mẫu cho 5 thì ta được \((2-1)/(2xx1)\). Cái này có vẻ không đúng.

Thực ra, chúng ta có thể viết lại phân số như sau:

\(5/(2xx1) = \mathbf{5/1}\)

Hmm, có vẻ cô đã nhầm lẫn. Bài toán này có thể có một mẹo nhỏ. Chúng ta hãy nhìn vào các số xuất hiện nhiều lần ở mẫu số: 1, 2, 11, 15, 4.

Chúng ta hãy thử lại cách tách phân số dựa trên hiệu của hai thừa số ở mẫu số một cách cẩn thận hơn.

Phân số thứ nhất: \(5/(2xx1)\)

Ta nhận thấy \(2 – 1 = 1\). Tử số là 5. Để áp dụng công thức tách phân số dạng \( (b-a)/(a \times b) = 1/a – 1/b \), ta cần tử số là hiệu của hai thừa số ở mẫu. Ở đây, tử số là 5, mà hiệu hai thừa số ở mẫu là 1. Ta có thể viết:

\(5/(2xx1) = k \times (2-1) / (2xx1)\). Nếu \(k=5\), ta có \(5 \times 1 / (2xx1)\). Nếu ta muốn tách, ta cần tử số là hiệu hai số ở mẫu.

Cách làm đúng là:

Nếu có phân số dạng \( \frac{m}{a \times b} \), và ta muốn tách nó ra, ta cần xem mối quan hệ giữa \(m\) và \(b-a\). Ở đây:

Phân số 1: \(5/(2xx1)\). Hiệu hai thừa số ở mẫu là \(2-1=1\). Ta có thể viết \(5/(2xx1) = 5 \times \frac{2-1}{2 \times 1}\). Cái này không giúp ích.

Một cách suy nghĩ khác:

Chúng ta có thể viết lại phân số thành dạng \( \frac{A}{a} – \frac{A}{b} \) hoặc \( \frac{A}{a} – \frac{B}{b} \) sao cho chúng cộng lại ra phân số ban đầu.

Hãy thử một cách tách phân số khác, phổ biến hơn:

Nếu có phân số \( \frac{1}{a \times b} \), ta có thể viết \( \frac{1}{b-a} \times (\frac{1}{a} – \frac{1}{b}) \).

Áp dụng cho từng phân số:

1. \(5/(2xx1)\)

Ta thấy \(2 – 1 = 1\). Tử số là 5.

Ta có thể viết \(5/(2xx1) = 5 \times \frac{1}{2 \times 1}\).

Áp dụng công thức với \(a=1, b=2\): \(\frac{1}{2-1} \times (\frac{1}{1} – \frac{1}{2}) = 1 \times (1 – \frac{1}{2}) = 1 – \frac{1}{2}\).

Vậy \(5/(2xx1)\) không bằng \(1 – 1/2\).

Cô xin lỗi các em, có lẽ cô đã nhầm lẫn ở bước đầu. Chúng ta cần tìm một cách nhìn tổng quát hơn.

Hãy nhìn kỹ vào các mẫu số: \(2 \times 1\), \(1 \times 11\), \(11 \times 2\), \(2 \times 15\), \(15 \times 4\).

Có vẻ như các số xuất hiện ở mẫu có liên quan với nhau. Tuy nhiên, các tử số lại không phải là hiệu của các số ở mẫu.

Chúng ta hãy thử một hướng tiếp cận khác.

Tách từng phân số một, cố gắng để tử số là hiệu của hai số ở mẫu.

Phân số 1: \(5/(2xx1)\)

Ta có \(2 – 1 = 1\). Tử số là 5. Ta có thể viết lại:

\(5/(2xx1) = 5 \times \frac{1}{2 \times 1}\). Nếu ta muốn tách \( \frac{1}{a \times b} = \frac{1}{b-a} (\frac{1}{a} – \frac{1}{b}) \).

Ở đây \(a=1, b=2\). Vậy \(\frac{1}{2 \times 1} = \frac{1}{2-1} (\frac{1}{1} – \frac{1}{2}) = 1 \times (1 – \frac{1}{2}) = 1 – \frac{1}{2}\).

Vậy \(5/(2xx1) = 5 \times (1 – 1/2) = 5 – 5/2\). Cái này không có vẻ đúng vì không tạo thành dạng “telescoping sum”.

Hãy thử cách tách khác:

Phân số 1: \(5/(2xx1)\)

Ta thấy \(2-1=1\). Tử số là 5. Ta muốn biến đổi để có dạng \(\frac{1}{1} – \frac{1}{2}\) hoặc tương tự.

Nếu ta viết \(5/(2xx1) = \frac{A}{1} – \frac{B}{2}\). Quy đồng lên là \(\frac{2A – B}{2}\). Để bằng \(5/2\), ta cần \(2A-B = 5\).

Thử chọn A=3, B=1. \(2(3)-1 = 5\). Vậy \(5/(2xx1) = 3/1 – 1/2 = 3 – 1/2 = 5/2\). Đúng!

Vậy: \(5/(2xx1) = 3 – 1/2\).

Phân số 2: \(4/(1xx11)\)

Ta thấy \(11 – 1 = 10\). Tử số là 4. Ta muốn \(\frac{A}{1} – \frac{B}{11}\). Quy đồng là \(\frac{11A – B}{11}\). Để bằng \(4/11\), ta cần \(11A – B = 4\).

Thử chọn A=1, B=7. \(11(1) – 7 = 4\). Vậy \(4/(1xx11) = 1/1 – 7/11 = 1 – 7/11 = 4/11\). Đúng!

Vậy: \(4/(1xx11) = 1 – 7/11\).

Phân số 3: \(3/(11xx2)\)

Ta thấy \(11 – 2 = 9\). Tử số là 3. Ta muốn \(\frac{A}{2} – \frac{B}{11}\). Quy đồng là \(\frac{11A – 2B}{22}\). Để bằng \(3/(11xx2) = 3/22\), ta cần \(11A – 2B = 3\).

Thử chọn A=1, B=4. \(11(1) – 2(4) = 11 – 8 = 3\). Vậy \(3/(11xx2) = 1/2 – 4/11\). Đúng!

Vậy: \(3/(11xx2) = 1/2 – 4/11\).

Phân số 4: \(1/(2xx15)\)

Ta thấy \(15 – 2 = 13\). Tử số là 1.

Ta muốn \(\frac{A}{2} – \frac{B}{15}\). Quy đồng là \(\frac{15A – 2B}{30}\). Để bằng \(1/30\), ta cần \(15A – 2B = 1\).

Thử chọn A=1, B=7. \(15(1) – 2(7) = 15 – 14 = 1\). Vậy \(1/(2xx15) = 1/2 – 7/15\). Đúng!

Vậy: \(1/(2xx15) = 1/2 – 7/15\).

Phân số 5: \(13/(15xx4)\)

Ta thấy \(15 – 4 = 11\). Tử số là 13.

Ta muốn \(\frac{A}{4} – \frac{B}{15}\). Quy đồng là \(\frac{15A – 4B}{60}\). Để bằng \(13/60\), ta cần \(15A – 4B = 13\).

Thử chọn A=1, B=-2. \(15(1) – 4(-2) = 15 + 8 = 23\). Không đúng.

Thử chọn A=3, B=11. \(15(3) – 4(11) = 45 – 44 = 1\). Không đúng.

Thử chọn A=2, B=8. \(15(2) – 4(8) = 30 – 32 = -2\). Không đúng.

Thử chọn A=1, B=-2.

Có một cách nhìn khác:

Nếu ta có \( \frac{m}{a \times b} \), và ta nhận thấy \( m = k \times (b-a) \) hoặc \( m = k \times (a-b) \).

Xem lại phân số 5: \(13/(15xx4)\). Ta có \(15 – 4 = 11\). Tử số là 13.

Thử nghĩ xem, liệu có cách nào viết \(13/(15xx4)\) thành \(X/4 – Y/15\)?

Quy đồng: \( (15X – 4Y) / 60 \). Chúng ta cần \( 15X – 4Y = 13 \).

Nếu X=1, \(15 – 4Y = 13 \implies 4Y = 2 \implies Y = 1/2\).

Vậy \(13/(15xx4) = 1/4 – (1/2)/15 = 1/4 – 1/30\).

Kiểm tra: \(1/4 – 1/30 = (15-2)/60 = 13/60\). Đúng!

Vậy: \(13/(15xx4) = 1/4 – 1/30\).

Bây giờ, chúng ta thay thế các phân số đã biến đổi vào biểu thức B:

\(B = (3 – 1/2) + (1 – 7/11) + (1/2 – 4/11) + (1/2 – 7/15) + (1/4 – 1/30)\)

Nhóm các số nguyên và các phân số lại:

\(B = (3 + 1) + (-1/2 + 1/2 + 1/2) + (-7/11 – 4/11) + (-7/15) + 1/4 – 1/30\)

\(B = 4 + (1/2) + (-11/11) + (-7/15) + 1/4 – 1/30\)

\(B = 4 + 1/2 – 1 + (-7/15) + 1/4 – 1/30\)

\(B = (4 – 1) + 1/2 – 7/15 + 1/4 – 1/30\)

\(B = 3 + 1/2 – 7/15 + 1/4 – 1/30\)

Bây giờ chúng ta cộng các phân số lại. Tìm mẫu số chung nhỏ nhất của 2, 15, 4, 30.

Mẫu số chung là 60.

\(1/2 = 30/60\)

\(7/15 = (7 \times 4) / (15 \times 4) = 28/60\)

\(1/4 = 15/60\)

\(1/30 = 2/60\)

\(B = 3 + 30/60 – 28/60 + 15/60 – 2/60\)

\(B = 3 + (30 – 28 + 15 – 2) / 60\)

\(B = 3 + (2 + 15 – 2) / 60\)

\(B = 3 + (17 – 2) / 60\)

\(B = 3 + 15/60\)

Rút gọn phân số \(15/60\):

\(15/60 = 1/4\)

\(B = 3 + 1/4\)

\(B = 3\frac{1}{4}\)

Hoặc viết dưới dạng phân số: \(B = 13/4\).

Các em thấy không, bài toán này tuy nhìn phức tạp nhưng nếu chúng ta biết cách tách phân số thì mọi thứ trở nên dễ dàng hơn rất nhiều.

Tóm lại các bước làm:

1. Phân tích từng phân số và tìm cách tách nó thành hiệu của hai phân số.
2. Thay thế các phân số đã tách vào biểu thức ban đầu.
3. Nhóm các số nguyên và các phân số lại với nhau.
4. Cộng trừ các phân số bằng cách quy đồng mẫu số.
5. Rút gọn kết quả cuối cùng.

Chú ý: Cách tách phân số có thể khác nhau tùy thuộc vào từng bài toán. Quan trọng là chúng ta tìm được cách tách sao cho khi rút gọn sẽ tạo thành dạng “tổng triệt tiêu” (telescoping sum).

Hy vọng qua bài giảng này, các em đã hiểu rõ hơn về cách giải dạng toán này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô nhé!