Chào các em học sinh lớp 12 yêu quý!

Thầy rất vui khi thấy các em vẫn tràn đầy năng lượng để “khởi động tý toán cho vui”. Bài toán logarit này tuy có vẻ hơi phức tạp một chút nhưng nếu chúng ta kiên nhẫn áp dụng đúng các công thức và biến đổi hợp lý, chắc chắn sẽ tìm ra lời giải. Nào, chúng ta cùng bắt tay vào giải quyết nhé!

Phân tích đề bài:

Chúng ta có một phương trình logarit và cần tính giá trị của một biểu thức khác. Điều kiện quan trọng là \(a,b,c\) đều lớn hơn \(1\). Điều này đảm bảo các logarit có nghĩa và các giá trị của chúng là dương.

Phương trình đã cho là:

\(log_{sqrt{a}}^2 b + (log_{b} c – 1) . log_{b} sqrt{c} + log_{a} (c^3)/b = 0\)

Biểu thức cần tính là:

\(4/(log_{b} a) + log_{b} bc\)

Bước 1: Biến đổi phương trình logarit ban đầu

Để giải phương trình logarit, chúng ta cần đưa các logarit về cùng một cơ số hoặc các cơ số liên quan đến nhau. Ở đây, ta thấy có các cơ số \(\sqrt{a}\), \(b\), \(a\). Các đối số có \(b\), \(c\), \(\sqrt{c}\), \(c^3/b\).

Chúng ta sẽ áp dụng các công thức logarit cơ bản:

• \(\log_{x^k} y = (1/k) \log_x y\)
• \(\log_x y^k = k \log_x y\)
• \(\log_x (Y/Z) = \log_x Y – \log_x Z\)
• \(\log_x (YZ) = \log_x Y + \log_x Z\)
• \(\log_x y = 1 / \log_y x\) (công thức đổi cơ số đặc biệt)
• \(\log_x y \cdot \log_y z = \log_x z\) (công thức đổi cơ số tổng quát)

Biến đổi từng hạng tử của phương trình:

Hạng tử thứ nhất: \(log_{sqrt{a}}^2 b\)

Ta có \(\sqrt{a} = a^{1/2}\). Áp dụng công thức \(\log_{x^k} y = (1/k) \log_x y\):

\(\log_{a^{1/2}} b = (1/(1/2)) \log_a b = 2 \log_a b\)

Vậy, \(log_{sqrt{a}}^2 b = (2 \log_a b)^2 = 4 (log_a b)^2\)

Hạng tử thứ hai: \((log_{b} c – 1) . log_{b} sqrt{c}\)

Ta có \(\sqrt{c} = c^{1/2}\). Áp dụng công thức \(\log_x y^k = k \log_x y\):

\(\log_{b} \sqrt{c} = \log_{b} c^{1/2} = (1/2) \log_{b} c\)

Vậy, \((log_{b} c – 1) . (1/2) log_{b} c = (1/2) (log_{b} c)^2 – (1/2) log_{b} c\)

Hạng tử thứ ba: \(log_{a} (c^3)/b\)

Áp dụng công thức \(\log_x (Y/Z) = \log_x Y – \log_x Z\) và \(\log_x y^k = k \log_x y\):

\(log_{a} (c^3)/b = log_a c^3 – log_a b = 3 log_a c – log_a b\)

Bây giờ, thay thế các biểu thức đã biến đổi vào phương trình ban đầu:

\(4 (log_a b)^2 + (1/2) (log_{b} c)^2 – (1/2) log_{b} c + 3 log_a c – log_a b = 0\)

Chúng ta thấy xuất hiện \(\log_a c\). Để đưa về các biến quen thuộc, ta dùng công thức đổi cơ số: \(\log_a c = \log_a b \cdot \log_b c\)

Thay vào phương trình:

\(4 (log_a b)^2 + (1/2) (log_{b} c)^2 – (1/2) log_{b} c + 3 (log_a b \cdot log_b c) – log_a b = 0\)

Bước 2: Đặt ẩn phụ và giải phương trình

Để phương trình dễ nhìn hơn, ta đặt ẩn phụ:

Đặt \(x = \log_a b\) và \(y = \log_b c\)

Vì \(a, b, c > 1\), nên \(\log_a b > 0\) và \(\log_b c > 0\). Tức là \(x > 0\) và \(y > 0\).

Phương trình trở thành:

\(4x^2 + (1/2)y^2 – (1/2)y + 3xy – x = 0\)

Nhân cả hai vế với 2 để loại bỏ phân số:

\(8x^2 + y^2 – y + 6xy – 2x = 0\)

Chúng ta có thể sắp xếp lại phương trình này theo \(y\) (hoặc \(x\)) để dễ giải hơn. Coi đây là một phương trình bậc hai theo biến \(y\):

\(y^2 + (6x – 1)y + (8x^2 – 2x) = 0\)

Tính biệt thức Delta (\(\Delta\)) của phương trình bậc hai theo \(y\):

\(\Delta_y = (6x – 1)^2 – 4(1)(8x^2 – 2x)\)

\(\Delta_y = (36x^2 – 12x + 1) – (32x^2 – 8x)\)

\(\Delta_y = 36x^2 – 12x + 1 – 32x^2 + 8x\)

\(\Delta_y = 4x^2 – 4x + 1\)

Ồ, chúng ta nhận ra đây chính là một hằng đẳng thức!

\(\Delta_y = (2x – 1)^2\)

Vì biệt thức là một bình phương, phương trình bậc hai theo \(y\) sẽ có nghiệm rất đẹp:

\(y = \frac{-(6x – 1) \pm \sqrt{(2x – 1)^2}}{2}\)

\(y = \frac{-6x + 1 \pm |2x – 1|}{2}\)

Bây giờ chúng ta cần xét hai trường hợp cho \((2x – 1)\):

Trường hợp 1: \(2x – 1 \ge 0 \Rightarrow x \ge 1/2\)

Khi đó \(|2x – 1| = 2x – 1\).

\(y = \frac{-6x + 1 \pm (2x – 1)}{2}\)

Nghiệm 1a: \(y = \frac{-6x + 1 + (2x – 1)}{2} = \frac{-4x}{2} = -2x\)

Vì \(x > 0\) (do \(a,b > 1\)), nên \(-2x < 0\). Nhưng chúng ta đã biết \(y = \log_b c > 0\) (do \(b,c > 1\)). Vậy trường hợp này bị loại.

Nghiệm 1b: \(y = \frac{-6x + 1 – (2x – 1)}{2} = \frac{-8x + 2}{2} = -4x + 1\)

Với \(y > 0\), ta cần \(-4x + 1 > 0 \Rightarrow 1 > 4x \Rightarrow x < 1/4\). Điều này mâu thuẫn với điều kiện của trường hợp này là \(x \ge 1/2\). Vậy trường hợp này cũng bị loại.

Trường hợp 2: \(2x – 1 < 0 \Rightarrow x < 1/2\)

Khi đó \(|2x – 1| = -(2x – 1) = 1 – 2x\).

\(y = \frac{-6x + 1 \pm (1 – 2x)}{2}\)

Nghiệm 2a: \(y = \frac{-6x + 1 + (1 – 2x)}{2} = \frac{-8x + 2}{2} = -4x + 1\)

Với \(y > 0\), ta cần \(-4x + 1 > 0 \Rightarrow 1 > 4x \Rightarrow x < 1/4\). Điều kiện \(x < 1/4\) này hoàn toàn phù hợp với điều kiện của trường hợp là \(x < 1/2\). Do đó, đây là nghiệm hợp lệ: \(y = -4x + 1\)

Nghiệm 2b: \(y = \frac{-6x + 1 – (1 – 2x)}{2} = \frac{-4x}{2} = -2x\)

Tương tự như Nghiệm 1a, vì \(x > 0\), \(-2x < 0\), nên \(y < 0\). Điều này mâu thuẫn với \(y > 0\). Vậy trường hợp này bị loại.

Từ các phân tích trên, ta kết luận mối quan hệ duy nhất giữa \(x\) và \(y\) là:

\(y = -4x + 1\)

Thay lại các biến đã đặt:

\(\log_b c = -4 \log_a b + 1\)

Bước 3: Tính giá trị của biểu thức

Biểu thức cần tính là: \(4/(log_{b} a) + log_{b} bc\)

Áp dụng công thức \(\log_x y = 1 / \log_y x\), ta có \(1/(log_{b} a) = log_a b\).

Áp dụng công thức \(\log_x (YZ) = \log_x Y + \log_x Z\), ta có \(log_{b} bc = log_b b + log_b c = 1 + log_b c\).

Vậy, biểu thức trở thành:

\(4 \log_a b + (1 + log_b c)\)

Thay \(x = \log_a b\) và \(y = \log_b c\) vào biểu thức:

\(4x + (1 + y)\)

Bây giờ, thay thế mối quan hệ chúng ta đã tìm được từ phương trình: \(y = -4x + 1\)

\(4x + (1 + (-4x + 1))\)

\(= 4x + 1 – 4x + 1\)

\(= (4x – 4x) + (1 + 1)\)

\(= 0 + 2\)

\(= 2\)

Kiểm tra điều kiện:

Chúng ta có \(x = \log_a b\). Vì \(a,b > 1\), nên \(x > 0\).
Mối quan hệ \(y = -4x + 1\) yêu cầu \(0 < x < 1/4\). Nếu \(x \in (0, 1/4)\), thì \(y = -4x+1\). Với \(x > 0\), ta có \(-4x < 0 \Rightarrow -4x+1 < 1\). Với \(x < 1/4\), ta có \(-4x > -1 \Rightarrow -4x+1 > 0\).
Vậy \(0 < y < 1\). Điều này hoàn toàn phù hợp với điều kiện \(y = \log_b c > 0\) (do \(b,c > 1\)).

Vậy, giá trị tính được là chính xác.

Kết luận:

Giá trị của biểu thức \(4/(log_{b} a) + log_{b} bc\) là \(2\).

Các em thấy không, bài toán ban đầu có vẻ “hóc búa” nhưng khi chúng ta bình tĩnh áp dụng các công thức và biến đổi một cách có hệ thống, nó sẽ dần trở nên rõ ràng hơn rất nhiều. Kỹ năng đặt ẩn phụ và giải phương trình bậc hai (đặc biệt khi biệt thức là một số chính phương) rất quan trọng trong các bài toán logarit và hàm số. Hãy luyện tập nhiều hơn để thành thạo những kỹ năng này nhé!

Chúc các em học tốt!