Chào các em học sinh thân mến! Cô là giáo viên môn Toán lớp 6 của các em. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một số bài toán thú vị về dấu hiệu chia hết nhé.

Bài toán:
a) Tìm \(a, b\) biết \(a – b = 5\) và \({a785b} \ \vdots \ 9\)
b) Tìm \(a, b\) biết \(b – a = 2\) và \({20ab} \ \vdots \ 9\)
c) Tìm \(a, b\) để \({56a3b}\) chia hết cho 15
d) Tìm \(a, b\) để số \({6a14b}\) chia hết cho 2 và 5 nhưng chia cho 3 dư 2

Chúng ta cùng đi vào lời giải chi tiết của từng phần nhé!

---

Giải:

a) Tìm \(a, b\) biết \(a – b = 5\) và \({a785b} \ \vdots \ 9\)

Để số \({a785b}\) chia hết cho 9, tổng các chữ số của nó phải chia hết cho 9.

Tổng các chữ số là: \(a + 7 + 8 + 5 + b = a + b + 20\).

Theo đề bài, \(a + b + 20\) phải chia hết cho 9.

Các chữ số \(a, b\) là các số tự nhiên có một chữ số. Vì \(a\) là chữ số hàng cao nhất của số \({a785b}\) nên \(a \ne 0\), tức là \(1 \le a \le 9\). Chữ số \(b\) có thể là \(0 \le b \le 9\).

Từ điều kiện \(a – b = 5\), ta suy ra \(a = b + 5\).

Thay \(a = b + 5\) vào biểu thức tổng các chữ số, ta được:

\((b + 5) + b + 20 \ \vdots \ 9\)

\(2b + 25 \ \vdots \ 9\)

Vì \(0 \le b \le 9\), ta có thể ước lượng giá trị của \(2b + 25\):

• Nếu \(b = 0 \Rightarrow 2b + 25 = 2(0) + 25 = 25\).
• Nếu \(b = 9 \Rightarrow 2b + 25 = 2(9) + 25 = 18 + 25 = 43\).

Vậy \(25 \le 2b + 25 \le 43\).

Trong khoảng từ 25 đến 43, các số chia hết cho 9 là 27 và 36.

Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: \(2b + 25 = 27\)

\(2b = 27 – 25\)

\(2b = 2\)

\(b = 1\)

Với \(b = 1\), ta tìm \(a\) từ \(a = b + 5 = 1 + 5 = 6\).

Kiểm tra điều kiện: \(a=6\) thỏa mãn \(1 \le a \le 9\). \(b=1\) thỏa mãn \(0 \le b \le 9\).

Số cần tìm là 67851. Tổng các chữ số \(6+7+8+5+1 = 27\), chia hết cho 9.

Trường hợp 2: \(2b + 25 = 36\)

\(2b = 36 – 25\)

\(2b = 11\)

\(b = 11/2\)

Giá trị này không phải là số nguyên, nên không thỏa mãn điều kiện \(b\) là chữ số.

Vậy, cặp số \((a, b)\) cần tìm là \((6, 1)\).

Kết luận: \(a = 6, b = 1\)

---

b) Tìm \(a, b\) biết \(b – a = 2\) và \({20ab} \ \vdots \ 9\)

Để số \({20ab}\) chia hết cho 9, tổng các chữ số của nó phải chia hết cho 9.

Tổng các chữ số là: \(2 + 0 + a + b = a + b + 2\).

Theo đề bài, \(a + b + 2\) phải chia hết cho 9.

Các chữ số \(a, b\) là các số tự nhiên có một chữ số, tức là \(0 \le a, b \le 9\).

Từ điều kiện \(b – a = 2\), ta suy ra \(b = a + 2\).

Thay \(b = a + 2\) vào biểu thức tổng các chữ số, ta được:

\(a + (a + 2) + 2 \ \vdots \ 9\)

\(2a + 4 \ \vdots \ 9\)

Vì \(0 \le a \le 9\), ta có thể ước lượng giá trị của \(2a + 4\):

• Nếu \(a = 0 \Rightarrow 2a + 4 = 2(0) + 4 = 4\).
• Nếu \(a = 9 \Rightarrow 2a + 4 = 2(9) + 4 = 18 + 4 = 22\).

Vậy \(4 \le 2a + 4 \le 22\).

Trong khoảng từ 4 đến 22, các số chia hết cho 9 là 9 và 18.

Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: \(2a + 4 = 9\)

\(2a = 9 – 4\)

\(2a = 5\)

\(a = 5/2\)

Giá trị này không phải là số nguyên, nên không thỏa mãn điều kiện \(a\) là chữ số.

Trường hợp 2: \(2a + 4 = 18\)

\(2a = 18 – 4\)

\(2a = 14\)

\(a = 7\)

Với \(a = 7\), ta tìm \(b\) từ \(b = a + 2 = 7 + 2 = 9\).

Kiểm tra điều kiện: \(a=7\) thỏa mãn \(0 \le a \le 9\). \(b=9\) thỏa mãn \(0 \le b \le 9\).

Số cần tìm là 2079. Tổng các chữ số \(2+0+7+9 = 18\), chia hết cho 9.

Vậy, cặp số \((a, b)\) cần tìm là \((7, 9)\).

Kết luận: \(a = 7, b = 9\)

---

c) Tìm \(a, b\) để \({56a3b}\) chia hết cho 15

Một số chia hết cho 15 khi và chỉ khi số đó chia hết cho 3 và chia hết cho 5 (vì \(15 = 3 \times 5\) và ƯCLN(3, 5) = 1).

Bước 1: Tìm \(b\) dựa vào điều kiện chia hết cho 5.

Để số \({56a3b}\) chia hết cho 5, chữ số tận cùng \(b\) phải là 0 hoặc 5.

Vậy \(b = 0\) hoặc \(b = 5\).

Bước 2: Tìm \(a\) dựa vào điều kiện chia hết cho 3.

Để số \({56a3b}\) chia hết cho 3, tổng các chữ số của nó phải chia hết cho 3.

Tổng các chữ số là: \(5 + 6 + a + 3 + b = a + b + 14\).

Chúng ta xét từng trường hợp của \(b\):

Trường hợp 1: \(b = 0\)

Thay \(b = 0\) vào tổng các chữ số, ta có: \(a + 0 + 14 = a + 14\).

Để \(a + 14 \ \vdots \ 3\), ta xét các giá trị của \(a\) từ 0 đến 9:

• Nếu \(a = 0 \Rightarrow 0 + 14 = 14\) (không chia hết cho 3).
• Nếu \(a = 1 \Rightarrow 1 + 14 = 15\) (chia hết cho 3). Vậy \((a, b) = (1, 0)\) là một cặp thỏa mãn.
• Nếu \(a = 2 \Rightarrow 2 + 14 = 16\) (không chia hết cho 3).
• Nếu \(a = 3 \Rightarrow 3 + 14 = 17\) (không chia hết cho 3).
• Nếu \(a = 4 \Rightarrow 4 + 14 = 18\) (chia hết cho 3). Vậy \((a, b) = (4, 0)\) là một cặp thỏa mãn.
• Nếu \(a = 5 \Rightarrow 5 + 14 = 19\) (không chia hết cho 3).
• Nếu \(a = 6 \Rightarrow 6 + 14 = 20\) (không chia hết cho 3).
• Nếu \(a = 7 \Rightarrow 7 + 14 = 21\) (chia hết cho 3). Vậy \((a, b) = (7, 0)\) là một cặp thỏa mãn.
• Nếu \(a = 8 \Rightarrow 8 + 14 = 22\) (không chia hết cho 3).
• Nếu \(a = 9 \Rightarrow 9 + 14 = 23\) (không chia hết cho 3).

Vậy, khi \(b = 0\), các giá trị của \(a\) là 1, 4, 7.

Trường hợp 2: \(b = 5\)

Thay \(b = 5\) vào tổng các chữ số, ta có: \(a + 5 + 14 = a + 19\).

Để \(a + 19 \ \vdots \ 3\), ta xét các giá trị của \(a\) từ 0 đến 9:

• Nếu \(a = 0 \Rightarrow 0 + 19 = 19\) (không chia hết cho 3).
• Nếu \(a = 1 \Rightarrow 1 + 19 = 20\) (không chia hết cho 3).
• Nếu \(a = 2 \Rightarrow 2 + 19 = 21\) (chia hết cho 3). Vậy \((a, b) = (2, 5)\) là một cặp thỏa mãn.
• Nếu \(a = 3 \Rightarrow 3 + 19 = 22\) (không chia hết cho 3).
• Nếu \(a = 4 \Rightarrow 4 + 19 = 23\) (không chia hết cho 3).
• Nếu \(a = 5 \Rightarrow 5 + 19 = 24\) (chia hết cho 3). Vậy \((a, b) = (5, 5)\) là một cặp thỏa mãn.
• Nếu \(a = 6 \Rightarrow 6 + 19 = 25\) (không chia hết cho 3).
• Nếu \(a = 7 \Rightarrow 7 + 19 = 26\) (không chia hết cho 3).
• Nếu \(a = 8 \Rightarrow 8 + 19 = 27\) (chia hết cho 3). Vậy \((a, b) = (8, 5)\) là một cặp thỏa mãn.
• Nếu \(a = 9 \Rightarrow 9 + 19 = 28\) (không chia hết cho 3).

Vậy, khi \(b = 5\), các giá trị của \(a\) là 2, 5, 8.

Tóm lại, các cặp số \((a, b)\) để \({56a3b}\) chia hết cho 15 là:

\((1, 0), (4, 0), (7, 0), (2, 5), (5, 5), (8, 5)\).

Kết luận: Các cặp số \((a, b)\) là \((1, 0), (4, 0), (7, 0), (2, 5), (5, 5), (8, 5)\).

---

d) Tìm \(a, b\) để số \({6a14b}\) chia hết cho 2 và 5 nhưng chia cho 3 dư 2

Bước 1: Tìm \(b\) dựa vào điều kiện chia hết cho 2 và 5.

Một số chia hết cho cả 2 và 5 khi và chỉ khi chữ số tận cùng của nó là 0.

Vậy, \(b = 0\).

Bước 2: Tìm \(a\) dựa vào điều kiện chia cho 3 dư 2.

Thay \(b = 0\) vào số \({6a14b}\), ta được số \({6a140}\).

Để số \({6a140}\) chia cho 3 dư 2, tổng các chữ số của nó phải chia cho 3 dư 2.

Tổng các chữ số là: \(6 + a + 1 + 4 + 0 = a + 11\).

Ta cần tìm \(a\) sao cho \(a + 11\) chia cho 3 dư 2.

Hay \(a + 11 = 3k + 2\) (với \(k\) là số tự nhiên).

Hoặc có thể viết: \(a + 11 \equiv 2 \pmod 3\).

Vì \(11 = 3 \times 3 + 2\), nên \(11\) chia cho 3 dư 2.

Do đó, \(a + 11 \equiv a + 2 \pmod 3\).

Để \(a + 2 \equiv 2 \pmod 3\), suy ra \(a \equiv 0 \pmod 3\).

Vì \(a\) là chữ số và \(0 \le a \le 9\), các giá trị của \(a\) chia hết cho 3 là:

\(a = 0, 3, 6, 9\).

Vậy, các cặp số \((a, b)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

\((0, 0), (3, 0), (6, 0), (9, 0)\).

Kết luận: Các cặp số \((a, b)\) là \((0, 0), (3, 0), (6, 0), (9, 0)\).

Cô hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp các em nắm vững hơn các kiến thức về dấu hiệu chia hết nhé! Chúc các em học tốt!