Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 9, đó là phân tích đa thức thành nhân tử. Bài toán của chúng ta là:

Phân tích đa thức thành nhân tử: \(x^3−3x^2−4x+12\)

Bài làm:

Để phân tích đa thức \(P(x) = x^3−3x^2−4x+12\) thành nhân tử, chúng ta có thể áp dụng một số phương pháp như đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, hoặc nhóm các hạng tử. Với đa thức này, vì có 4 hạng tử, phương pháp nhóm các hạng tử thường là một lựa chọn tốt để bắt đầu.

Phương pháp: Nhóm các hạng tử

Bước 1: Nhóm hai hạng tử đầu tiên và hai hạng tử cuối cùng lại với nhau.

Ta có đa thức ban đầu là: \(x^3−3x^2−4x+12\)

Nhóm lại, ta được: \((x^3−3x^2)−(4x−12)\)

(Lưu ý: Khi nhóm và phía trước dấu ngoặc là dấu trừ, chúng ta phải đổi dấu các hạng tử bên trong dấu ngoặc.)

Bước 2: Đặt nhân tử chung trong mỗi nhóm.

• Trong nhóm thứ nhất \((x^3−3x^2)\), ta thấy \(x^2\) là nhân tử chung.

Đặt \(x^2\) ra ngoài, ta còn lại: \(x^2(x−3)\)

• Trong nhóm thứ hai \((4x−12)\), ta thấy 4 là nhân tử chung (vì \(12 = 4 \times 3\)).

Đặt 4 ra ngoài, ta còn lại: \(4(x−3)\)

Vậy, biểu thức của chúng ta trở thành: \(x^2(x−3)−4(x−3)\)

Bước 3: Đặt nhân tử chung của toàn bộ biểu thức.

Quan sát biểu thức \(x^2(x−3)−4(x−3)\), ta thấy có một nhân tử chung là \((x−3)\).

Đặt \((x−3)\) ra ngoài, ta được: \((x−3)(x^2−4)\)

Bước 4: Phân tích tiếp các nhân tử nếu có thể.

Nhân tử \((x^2−4)\) chính là một hằng đẳng thức đáng nhớ: hiệu của hai bình phương \(a^2−b^2 = (a−b)(a+b)\).

Ở đây, \(a=x\) và \(b=2\) (vì \(4 = 2^2\)).

Vậy, \((x^2−4)\) có thể phân tích thành \((x−2)(x+2)\).

Thay vào biểu thức ở Bước 3, ta có:

\((x−3)(x^2−4) = (x−3)(x−2)(x+2)\)

Kết luận:

Vậy, đa thức \(x^3−3x^2−4x+12\) sau khi phân tích thành nhân tử là:

\((x−3)(x−2)(x+2)\)

Lưu ý thêm:

Đối với các đa thức bậc cao hơn hoặc khi phương pháp nhóm hạng tử không hiệu quả ngay lập tức, các em có thể thử tìm nghiệm nguyên của đa thức (dựa vào định lý nghiệm nguyên) và sử dụng phép chia đa thức hoặc sơ đồ Horner để hạ bậc đa thức. Chẳng hạn, với đa thức này, nếu ta thử các ước của 12 (\(\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12\)), ta sẽ thấy:

• Với \(x=3\): \(3^3−3(3^2)−4(3)+12 = 27−27−12+12 = 0\). Vậy \((x−3)\) là một nhân tử.
• Với \(x=2\): \(2^3−3(2^2)−4(2)+12 = 8−12−8+12 = 0\). Vậy \((x−2)\) là một nhân tử.
• Với \(x=−2\): \((−2)^3−3(−2)^2−4(−2)+12 = −8−12+8+12 = 0\). Vậy \((x+2)\) là một nhân tử.

Điều này hoàn toàn trùng khớp với kết quả chúng ta vừa tìm được!

Chúc các em học tốt và nắm vững kiến thức này nhé!