Xin chào các em học sinh lớp 8! Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu cách tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức bậc hai. Cô sẽ hướng dẫn các em giải hai bài toán cụ thể sau:

Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:

C = \(9x + 2 – 3x^2\)

D = \(2x – 2 – 3x^2\)

Chúng ta sẽ đi vào giải quyết từng biểu thức một nhé!

Giải biểu thức C = \(9x + 2 – 3x^2\)

Đầu tiên, chúng ta sắp xếp lại biểu thức C theo thứ tự bậc của biến x:

C = \(-3x^2 + 9x + 2\)

Đây là một biểu thức bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c\), với \(a = -3\), \(b = 9\), và \(c = 2\). Vì hệ số \(a = -3\) là một số âm, nên parabol tương ứng với biểu thức này sẽ quay bề lõm xuống dưới. Do đó, biểu thức sẽ có giá trị lớn nhất.

Để tìm giá trị lớn nhất, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương.

Bước 1: Đặt thừa số chung là hệ số của \(x^2\) ra ngoài hai hạng tử đầu tiên:

C = \(-3(x^2 – 3x) + 2\)

Bước 2: Bên trong dấu ngoặc, chúng ta hoàn thành bình phương cho \(x^2 – 3x\). Ta lấy hệ số của x là -3, chia cho 2 rồi bình phương: \((\frac{-3}{2})^2 = \frac{9}{4}\). Ta cộng và trừ giá trị này bên trong ngoặc:

C = \(-3(x^2 – 3x + \frac{9}{4} – \frac{9}{4}) + 2\)

Bước 3: Nhóm ba hạng tử đầu tiên bên trong ngoặc để tạo thành một bình phương hoàn chỉnh:

C = \(-3((x – \frac{3}{2})^2 – \frac{9}{4}) + 2\)

Bước 4: Nhân hệ số -3 vào bên trong ngoặc:

C = \(-3(x – \frac{3}{2})^2 -3(-\frac{9}{4}) + 2\)

C = \(-3(x – \frac{3}{2})^2 + \frac{27}{4} + 2\)

Bước 5: Quy đồng mẫu số cho phần hằng số:

C = \(-3(x – \frac{3}{2})^2 + \frac{27}{4} + \frac{8}{4}\)

C = \(-3(x – \frac{3}{2})^2 + \frac{35}{4}\)

Bây giờ, chúng ta hãy xem xét biểu thức này. Ta biết rằng \((x – \frac{3}{2})^2\) luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi giá trị của x.

Vì vậy, \(-3(x – \frac{3}{2})^2\) sẽ luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0.

Do đó, giá trị lớn nhất của C sẽ đạt được khi \(-3(x – \frac{3}{2})^2 = 0\), tức là khi \(x – \frac{3}{2} = 0\), hay \(x = \frac{3}{2}\).

Khi đó, giá trị lớn nhất của C là:

C_max = \(0 + \frac{35}{4} = \frac{35}{4}\)

Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức C là \(\frac{35}{4}\) đạt được khi \(x = \frac{3}{2}\).

Giải biểu thức D = \(2x – 2 – 3x^2\)

Tương tự như biểu thức C, chúng ta sắp xếp lại biểu thức D theo thứ tự bậc của biến x:

D = \(-3x^2 + 2x – 2\)

Đây cũng là một biểu thức bậc hai có dạng \(ax^2 + bx + c\), với \(a = -3\), \(b = 2\), và \(c = -2\). Hệ số \(a = -3\) là một số âm, nên biểu thức này cũng có giá trị lớn nhất.

Chúng ta tiếp tục sử dụng phương pháp hoàn thành bình phương.

Bước 1: Đặt thừa số chung là hệ số của \(x^2\) ra ngoài hai hạng tử đầu tiên:

D = \(-3(x^2 – \frac{2}{3}x) – 2\)

Bước 2: Bên trong dấu ngoặc, chúng ta hoàn thành bình phương cho \(x^2 – \frac{2}{3}x\). Ta lấy hệ số của x là \(-\frac{2}{3}\), chia cho 2 rồi bình phương: \((\frac{-2/3}{2})^2 = (\frac{-1}{3})^2 = \frac{1}{9}\). Ta cộng và trừ giá trị này bên trong ngoặc:

D = \(-3(x^2 – \frac{2}{3}x + \frac{1}{9} – \frac{1}{9}) – 2\)

Bước 3: Nhóm ba hạng tử đầu tiên bên trong ngoặc để tạo thành một bình phương hoàn chỉnh:

D = \(-3((x – \frac{1}{3})^2 – \frac{1}{9}) – 2\)

Bước 4: Nhân hệ số -3 vào bên trong ngoặc:

D = \(-3(x – \frac{1}{3})^2 -3(-\frac{1}{9}) – 2\)

D = \(-3(x – \frac{1}{3})^2 + \frac{3}{9} – 2\)

D = \(-3(x – \frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} – 2\)

Bước 5: Quy đồng mẫu số cho phần hằng số:

D = \(-3(x – \frac{1}{3})^2 + \frac{1}{3} – \frac{6}{3}\)

D = \(-3(x – \frac{1}{3})^2 – \frac{5}{3}\)

Tương tự như trên, ta biết rằng \((x – \frac{1}{3})^2 \ge 0\).

Do đó, \(-3(x – \frac{1}{3})^2 \le 0\).

Giá trị lớn nhất của D sẽ đạt được khi \(-3(x – \frac{1}{3})^2 = 0\), tức là khi \(x – \frac{1}{3} = 0\), hay \(x = \frac{1}{3}\).

Khi đó, giá trị lớn nhất của D là:

D_max = \(0 – \frac{5}{3} = -\frac{5}{3}\)

Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức D là \(-\frac{5}{3}\) đạt được khi \(x = \frac{1}{3}\).

Các em thấy đó, với phương pháp hoàn thành bình phương, chúng ta có thể dễ dàng tìm được giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của các biểu thức bậc hai. Hãy luyện tập thêm bài tập này để nắm vững kiến thức nhé!