Chào các em học sinh lớp 8 yêu quý! Cô là giáo viên Toán của các em đây. Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau chinh phục một dạng bài tập rất hay và quan trọng, đó là tìm Giá Trị Lớn Nhất (GTLN) của các biểu thức bậc hai. Bài tập này có thể hơi khó một chút, nhưng cô tin rằng với sự hướng dẫn chi tiết của cô, các em sẽ hiểu bài và làm được thôi. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

—

Bài toán: Tìm GTLN của các biểu thức sau:

1) \(A = 4x – x^2 + 1\)
2) \(B = 3 – 4x – x^2\)
3) \(C = 8 – x^2 – 5x\)
4) \(D = -4 – x^2 + 6x\)
5) \(E = -10 – x^2 – 6x\)

—

Để tìm GTLN của các biểu thức này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích thành bình phương của một tổng hoặc hiệu. Các em còn nhớ hằng đẳng thức:
– \( (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \)
– \( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
– \( -(a – b)^2 = -a^2 + 2ab – b^2 \)

Đặc biệt, chúng ta sẽ chú ý đến tính chất: Bình phương của một số thực luôn không âm, tức là \( (a – b)^2 \ge 0 \) với mọi số thực \(a, b\).

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào từng bài tập một.

—

1) Tìm GTLN của \( A = 4x – x^2 + 1 \)

Đầu tiên, cô sẽ sắp xếp lại biểu thức theo thứ tự bậc giảm dần của \(x\):
\( A = -x^2 + 4x + 1 \)

Để xuất hiện dạng \( (a – b)^2 \) hoặc \( -(a – b)^2 \), chúng ta sẽ nhóm các hạng tử chứa \(x\) lại và đặt dấu trừ ra ngoài:
\( A = -(x^2 – 4x) + 1 \)

Bây giờ, chúng ta cần “hoàn thiện” biểu thức bên trong ngoặc để tạo thành một bình phương. Các em nhìn vào \(x^2 – 4x\). Hạng tử \(4x\) chính là \(2ab\). Ở đây, \(a = x\). Vậy \(2xb = 4x\), suy ra \(b = 2\).
Để có bình phương, chúng ta cần thêm \(b^2\), tức là \(2^2 = 4\).

Chúng ta sẽ thêm và bớt 4 bên trong ngoặc:
\( A = -(x^2 – 4x + 4 – 4) + 1 \)

Bây giờ, nhóm ba hạng tử đầu tiên lại để tạo thành bình phương:
\( A = -((x^2 – 4x + 4) – 4) + 1 \)
\( A = -( (x – 2)^2 – 4 ) + 1 \)

Tiếp theo, ta bỏ ngoặc, nhớ đổi dấu các hạng tử bên trong:
\( A = -(x – 2)^2 + 4 + 1 \)
\( A = -(x – 2)^2 + 5 \)

Bây giờ, chúng ta xét biểu thức này.
Ta biết rằng \( (x – 2)^2 \ge 0 \) với mọi \(x\).
Do đó, \( -(x – 2)^2 \le 0 \) với mọi \(x\).

Khi đó, \( -(x – 2)^2 + 5 \le 0 + 5 \), hay \( A \le 5 \).

Dấu bằng xảy ra khi \( (x – 2)^2 = 0 \), tức là \( x – 2 = 0 \), hay \( x = 2 \).

Vậy, GTLN của biểu thức \(A\) là 5, đạt được khi \(x = 2\).

—

2) Tìm GTLN của \( B = 3 – 4x – x^2 \)

Tương tự, cô sắp xếp lại biểu thức:
\( B = -x^2 – 4x + 3 \)

Nhóm các hạng tử chứa \(x\) và đặt dấu trừ ra ngoài:
\( B = -(x^2 + 4x) + 3 \)

Hoàn thiện bình phương bên trong ngoặc. Ta có \(x^2 + 4x\). Ở đây \(a = x\), \(2ab = 4x\), suy ra \(b = 2\). Chúng ta cần thêm \(b^2 = 2^2 = 4\).

Thêm và bớt 4 bên trong ngoặc:
\( B = -(x^2 + 4x + 4 – 4) + 3 \)
\( B = -((x^2 + 4x + 4) – 4) + 3 \)
\( B = -( (x + 2)^2 – 4 ) + 3 \)

Bỏ ngoặc:
\( B = -(x + 2)^2 + 4 + 3 \)
\( B = -(x + 2)^2 + 7 \)

Ta có \( (x + 2)^2 \ge 0 \) với mọi \(x\).
Do đó, \( -(x + 2)^2 \le 0 \) với mọi \(x\).

Vậy, \( -(x + 2)^2 + 7 \le 0 + 7 \), hay \( B \le 7 \).

Dấu bằng xảy ra khi \( (x + 2)^2 = 0 \), tức là \( x + 2 = 0 \), hay \( x = -2 \).

Vậy, GTLN của biểu thức \(B\) là 7, đạt được khi \(x = -2\).

—

3) Tìm GTLN của \( C = 8 – x^2 – 5x \)

Sắp xếp lại:
\( C = -x^2 – 5x + 8 \)

Nhóm các hạng tử chứa \(x\) và đặt dấu trừ ra ngoài:
\( C = -(x^2 + 5x) + 8 \)

Hoàn thiện bình phương bên trong ngoặc. Ta có \(x^2 + 5x\). Ở đây \(a = x\), \(2ab = 5x\). Suy ra \(b = \frac{5}{2}\). Chúng ta cần thêm \(b^2 = (\frac{5}{2})^2 = \frac{25}{4}\).

Thêm và bớt \(\frac{25}{4}\) bên trong ngoặc:
\( C = -(x^2 + 5x + \frac{25}{4} – \frac{25}{4}) + 8 \)
\( C = -((x^2 + 5x + \frac{25}{4}) – \frac{25}{4}) + 8 \)
\( C = -( (x + \frac{5}{2})^2 – \frac{25}{4} ) + 8 \)

Bỏ ngoặc:
\( C = -(x + \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{4} + 8 \)

Để cộng \(\frac{25}{4}\) và 8, ta quy đồng mẫu số: \( 8 = \frac{32}{4} \).
\( C = -(x + \frac{5}{2})^2 + \frac{25}{4} + \frac{32}{4} \)
\( C = -(x + \frac{5}{2})^2 + \frac{57}{4} \)

Ta có \( (x + \frac{5}{2})^2 \ge 0 \) với mọi \(x\).
Do đó, \( -(x + \frac{5}{2})^2 \le 0 \) với mọi \(x\).

Vậy, \( -(x + \frac{5}{2})^2 + \frac{57}{4} \le 0 + \frac{57}{4} \), hay \( C \le \frac{57}{4} \).

Dấu bằng xảy ra khi \( (x + \frac{5}{2})^2 = 0 \), tức là \( x + \frac{5}{2} = 0 \), hay \( x = -\frac{5}{2} \).

Vậy, GTLN của biểu thức \(C\) là \(\frac{57}{4}\), đạt được khi \(x = -\frac{5}{2}\).

—

4) Tìm GTLN của \( D = -4 – x^2 + 6x \)

Sắp xếp lại:
\( D = -x^2 + 6x – 4 \)

Nhóm các hạng tử chứa \(x\) và đặt dấu trừ ra ngoài:
\( D = -(x^2 – 6x) – 4 \)

Hoàn thiện bình phương bên trong ngoặc. Ta có \(x^2 – 6x\). Ở đây \(a = x\), \(2ab = 6x\). Suy ra \(b = 3\). Chúng ta cần thêm \(b^2 = 3^2 = 9\).

Thêm và bớt 9 bên trong ngoặc:
\( D = -(x^2 – 6x + 9 – 9) – 4 \)
\( D = -((x^2 – 6x + 9) – 9) – 4 \)
\( D = -( (x – 3)^2 – 9 ) – 4 \)

Bỏ ngoặc:
\( D = -(x – 3)^2 + 9 – 4 \)
\( D = -(x – 3)^2 + 5 \)

Ta có \( (x – 3)^2 \ge 0 \) với mọi \(x\).
Do đó, \( -(x – 3)^2 \le 0 \) với mọi \(x\).

Vậy, \( -(x – 3)^2 + 5 \le 0 + 5 \), hay \( D \le 5 \).

Dấu bằng xảy ra khi \( (x – 3)^2 = 0 \), tức là \( x – 3 = 0 \), hay \( x = 3 \).

Vậy, GTLN của biểu thức \(D\) là 5, đạt được khi \(x = 3\).

—

5) Tìm GTLN của \( E = -10 – x^2 – 6x \)

Sắp xếp lại:
\( E = -x^2 – 6x – 10 \)

Nhóm các hạng tử chứa \(x\) và đặt dấu trừ ra ngoài:
\( E = -(x^2 + 6x) – 10 \)

Hoàn thiện bình phương bên trong ngoặc. Ta có \(x^2 + 6x\). Ở đây \(a = x\), \(2ab = 6x\). Suy ra \(b = 3\). Chúng ta cần thêm \(b^2 = 3^2 = 9\).

Thêm và bớt 9 bên trong ngoặc:
\( E = -(x^2 + 6x + 9 – 9) – 10 \)
\( E = -((x^2 + 6x + 9) – 9) – 10 \)
\( E = -( (x + 3)^2 – 9 ) – 10 \)

Bỏ ngoặc:
\( E = -(x + 3)^2 + 9 – 10 \)
\( E = -(x + 3)^2 – 1 \)

Ta có \( (x + 3)^2 \ge 0 \) với mọi \(x\).
Do đó, \( -(x + 3)^2 \le 0 \) với mọi \(x\).

Vậy, \( -(x + 3)^2 – 1 \le 0 – 1 \), hay \( E \le -1 \).

Dấu bằng xảy ra khi \( (x + 3)^2 = 0 \), tức là \( x + 3 = 0 \), hay \( x = -3 \).

Vậy, GTLN của biểu thức \(E\) là -1, đạt được khi \(x = -3\).

—

Cô hy vọng qua các ví dụ trên, các em đã hiểu rõ cách tìm GTLN của các biểu thức bậc hai có dạng \( -x^2 + bx + c \) bằng cách phân tích thành bình phương.

Lưu ý quan trọng: Khi hệ số của \(x^2\) là âm, ta luôn có thể đưa biểu thức về dạng \( -(x – a)^2 + b \) hoặc \( -(x + a)^2 + b \). Vì \( -(x – a)^2 \le 0 \), nên GTLN sẽ là \(b\).

Nếu gặp bài tập tương tự, các em hãy nhớ các bước sau:

1. Sắp xếp lại biểu thức theo thứ tự bậc giảm dần của \(x\).

2. Nếu hệ số của \(x^2\) là âm, đặt dấu trừ ra ngoài ngoặc nhóm các hạng tử chứa \(x\).

3. Hoàn thiện bình phương cho biểu thức bên trong ngoặc bằng cách thêm và bớt \( (\frac{b}{2})^2 \) (với \(b\) là hệ số của \(x\) bên trong ngoặc).

4. Rút gọn biểu thức.

5. Lập luận dựa trên tính chất \( -(x – a)^2 \le 0 \) để tìm GTLN.

6. Tìm giá trị của \(x\) để dấu bằng xảy ra.

Các em hãy xem lại bài giảng và làm thêm các bài tập tương tự để nắm vững kiến thức nhé. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi cô! Chúc các em học tốt!