Xin chào các em học sinh! Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải hai hệ phương trình tuyến tính bậc nhất hai ẩn. Đây là một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Cô sẽ hướng dẫn các em trình bày chi tiết từng bước nhé!

Bài toán: Giải các hệ phương trình sau:

a, \( \left \{ {{\frac{3x+2}{3} + \frac{y-1}{2} = 1 } \atop {\frac{4x+y}{4} + \frac{y+1}{2}= -3}} \right.\)

b, \( \left \{ {{\frac{1}{2}x+\frac{2}{3}y = 7} \atop {\frac{5}{3}x – \frac{3}{2}y = 1 }} \right.\)

—

Lời giải chi tiết:

a, Giải hệ phương trình: \( \left \{ {{\frac{3x+2}{3} + \frac{y-1}{2} = 1 } \atop {\frac{4x+y}{4} + \frac{y+1}{2}= -3}} \right.\)

Đây là hệ phương trình có chứa các phân số. Để đưa về dạng cơ bản \( Ax + By = C \), chúng ta sẽ quy đồng mẫu số và khử mẫu ở mỗi phương trình.

Bước 1: Rút gọn từng phương trình

Xét phương trình thứ nhất: \( \frac{3x+2}{3} + \frac{y-1}{2} = 1 \)

Mẫu chung nhỏ nhất của 3 và 2 là 6. Ta nhân cả hai vế của phương trình với 6:

\( 6 \left( \frac{3x+2}{3} \right) + 6 \left( \frac{y-1}{2} \right) = 6 \times 1 \)

\( 2(3x+2) + 3(y-1) = 6 \)

Áp dụng tính chất phân phối:

\( 6x + 4 + 3y – 3 = 6 \)

Chuyển các hằng số sang vế phải:

\( 6x + 3y + 1 = 6 \)

\( 6x + 3y = 6 – 1 \)

\( 6x + 3y = 5 \) (1′)

Xét phương trình thứ hai: \( \frac{4x+y}{4} + \frac{y+1}{2}= -3 \)

Mẫu chung nhỏ nhất của 4 và 2 là 4. Ta nhân cả hai vế của phương trình với 4:

\( 4 \left( \frac{4x+y}{4} \right) + 4 \left( \frac{y+1}{2} \right) = 4 \times (-3) \)

\( (4x+y) + 2(y+1) = -12 \)

Áp dụng tính chất phân phối:

\( 4x + y + 2y + 2 = -12 \)

Chuyển các hằng số sang vế phải:

\( 4x + 3y + 2 = -12 \)

\( 4x + 3y = -12 – 2 \)

\( 4x + 3y = -14 \) (2′)

Bước 2: Giải hệ phương trình mới bằng phương pháp cộng đại số

Từ (1′) và (2′), ta có hệ phương trình mới đơn giản hơn:

\( \left \{ {{6x + 3y = 5} \atop {4x + 3y = -14}} \right.\)

Ta thấy hệ số của \( y \) ở cả hai phương trình đều là 3. Vì vậy, ta sẽ dùng phương pháp cộng đại số bằng cách trừ phương trình (2′) cho phương trình (1′) (hoặc ngược lại) để triệt tiêu biến \( y \).

Lấy phương trình (1′) trừ đi phương trình (2′):

\( (6x + 3y) – (4x + 3y) = 5 – (-14) \)

\( 6x + 3y – 4x – 3y = 5 + 14 \)

\( 2x = 19 \)

\( x = \frac{19}{2} \)

Bước 3: Thay giá trị của \( x \) vào một trong hai phương trình để tìm \( y \)

Ta thay \( x = \frac{19}{2} \) vào phương trình (2′) (hoặc (1′) đều được, cô chọn (2′) vì các số nhỏ hơn một chút):

\( 4x + 3y = -14 \)

\( 4 \left( \frac{19}{2} \right) + 3y = -14 \)

\( 2 \times 19 + 3y = -14 \)

\( 38 + 3y = -14 \)

\( 3y = -14 – 38 \)

\( 3y = -52 \)

\( y = -\frac{52}{3} \)

Bước 4: Kết luận và kiểm tra lại

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x; y) = \left( \frac{19}{2}; -\frac{52}{3} \right) \).

Để chắc chắn, các em có thể thay giá trị \( x \) và \( y \) vừa tìm được vào hai phương trình ban đầu của hệ để kiểm tra lại. Cô sẽ kiểm tra bằng các phương trình đã rút gọn:

Với (1′): \( 6 \left( \frac{19}{2} \right) + 3 \left( -\frac{52}{3} \right) = 3 \times 19 – 52 = 57 – 52 = 5 \) (Đúng)

Với (2′): \( 4 \left( \frac{19}{2} \right) + 3 \left( -\frac{52}{3} \right) = 2 \times 19 – 52 = 38 – 52 = -14 \) (Đúng)

—

b, Giải hệ phương trình: \( \left \{ {{\frac{1}{2}x+\frac{2}{3}y = 7} \atop {\frac{5}{3}x – \frac{3}{2}y = 1 }} \right.\)

Tương tự như câu a, chúng ta sẽ rút gọn từng phương trình bằng cách quy đồng mẫu số và khử mẫu.

Bước 1: Rút gọn từng phương trình

Xét phương trình thứ nhất: \( \frac{1}{2}x+\frac{2}{3}y = 7 \)

Mẫu chung nhỏ nhất của 2 và 3 là 6. Ta nhân cả hai vế của phương trình với 6:

\( 6 \left( \frac{1}{2}x \right) + 6 \left( \frac{2}{3}y \right) = 6 \times 7 \)

\( 3x + 4y = 42 \) (1”)

Xét phương trình thứ hai: \( \frac{5}{3}x – \frac{3}{2}y = 1 \)

Mẫu chung nhỏ nhất của 3 và 2 là 6. Ta nhân cả hai vế của phương trình với 6:

\( 6 \left( \frac{5}{3}x \right) – 6 \left( \frac{3}{2}y \right) = 6 \times 1 \)

\( 2 \times 5x – 3 \times 3y = 6 \)

\( 10x – 9y = 6 \) (2”)

Bước 2: Giải hệ phương trình mới bằng phương pháp cộng đại số

Từ (1”) và (2”), ta có hệ phương trình mới:

\( \left \{ {{3x + 4y = 42} \atop {10x – 9y = 6}} \right.\)

Để sử dụng phương pháp cộng đại số, ta cần làm cho hệ số của một biến đối nhau hoặc bằng nhau. Cô sẽ chọn triệt tiêu biến \( y \).

Bội chung nhỏ nhất của 4 và 9 là 36.

Nhân phương trình (1”) với 9:

\( 9(3x + 4y) = 9 \times 42 \)

\( 27x + 36y = 378 \) (3)

Nhân phương trình (2”) với 4:

\( 4(10x – 9y) = 4 \times 6 \)

\( 40x – 36y = 24 \) (4)

Bây giờ, ta cộng phương trình (3) và (4) để triệt tiêu biến \( y \):

\( (27x + 36y) + (40x – 36y) = 378 + 24 \)

\( 27x + 40x = 402 \)

\( 67x = 402 \)

\( x = \frac{402}{67} \)

\( x = 6 \)

Bước 3: Thay giá trị của \( x \) vào một trong hai phương trình để tìm \( y \)

Ta thay \( x = 6 \) vào phương trình (1”) (chọn phương trình này vì các hệ số nhỏ hơn):

\( 3x + 4y = 42 \)

\( 3(6) + 4y = 42 \)

\( 18 + 4y = 42 \)

\( 4y = 42 – 18 \)

\( 4y = 24 \)

\( y = \frac{24}{4} \)

\( y = 6 \)

Bước 4: Kết luận và kiểm tra lại

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x; y) = (6; 6) \).

Để chắc chắn, các em có thể thay giá trị \( x \) và \( y \) vừa tìm được vào hai phương trình ban đầu của hệ để kiểm tra lại. Cô sẽ kiểm tra bằng các phương trình đã rút gọn:

Với (1”): \( 3(6) + 4(6) = 18 + 24 = 42 \) (Đúng)

Với (2”): \( 10(6) – 9(6) = 60 – 54 = 6 \) (Đúng)

—

Các em nhớ rằng, khi giải các hệ phương trình có chứa phân số, bước đầu tiên và quan trọng nhất là phải quy đồng mẫu số và khử mẫu để đưa về dạng phương trình bậc nhất hai ẩn quen thuộc. Sau đó, lựa chọn phương pháp giải (cộng đại số hoặc thế) sao cho phù hợp và tiện lợi nhất. Cuối cùng, đừng quên kiểm tra lại nghiệm để đảm bảo kết quả chính xác nhé!