Đề bài cho chúng ta biết: \(sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{3}\) và \(\frac{π}{2}<\alpha<π\).

Câu a) \(cos \alpha<0\)

Các em còn nhớ cách xác định dấu của các giá trị lượng giác trong các góc phần tư không nào?

Với điều kiện \(\frac{π}{2}<\alpha<π\), điều này có nghĩa là góc \(\alpha\) nằm trong góc phần tư thứ hai.

Trong góc phần tư thứ hai, giá trị của sin là dương, còn giá trị của cos là âm.

Do đó, \(cos\alpha\) chắc chắn sẽ nhỏ hơn 0.

Kết luận: Câu a) là Đúng.

Câu b) \(cos\alpha=\frac{2}{3}\)

Để tìm giá trị của \(cos\alpha\), chúng ta sẽ sử dụng công thức lượng giác cơ bản:

\(sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1\)

Chúng ta đã biết \(sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{3}\), nên ta có:

\((\frac{\sqrt{5}}{3})^2 + cos^2\alpha = 1\)

\(\frac{5}{9} + cos^2\alpha = 1\)

\(cos^2\alpha = 1 – \frac{5}{9} = \frac{4}{9}\)

Lấy căn bậc hai hai vế, ta được:

\(cos\alpha = \pm \sqrt{\frac{4}{9}} = \pm \frac{2}{3}\)

Từ câu a), chúng ta đã xác định được \(cos\alpha < 0\). Vì vậy, chúng ta chọn giá trị âm:

\(cos\alpha = -\frac{2}{3}\)

So sánh với giá trị đề bài cho là \(\frac{2}{3}\), ta thấy khác nhau.

Kết luận: Câu b) là Sai.

Câu c) \(tan(\alpha+\frac{π}{3})=\frac{-8\sqrt{5}+9\sqrt{3}}{11}\)

Để tính \(tan(\alpha+\frac{π}{3})\), chúng ta cần biết giá trị của \(tan\alpha\). Ta có:

\(tan\alpha = \frac{sin\alpha}{cos\alpha}\)

Chúng ta đã có \(sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{3}\) và \(cos\alpha=-\frac{2}{3}\).

\(tan\alpha = \frac{\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = -\frac{\sqrt{5}}{2}\)

Bây giờ, chúng ta sử dụng công thức cộng tan:

\(tan(A+B) = \frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}\)

Ở đây, \(A = \alpha\) và \(B = \frac{π}{3}\).

\(tan(\alpha+\frac{π}{3}) = \frac{tan\alpha+tan\frac{π}{3}}{1-tan\alpha tan\frac{π}{3}}\)

Chúng ta biết \(tan\frac{π}{3} = \sqrt{3}\).

\(tan(\alpha+\frac{π}{3}) = \frac{-\frac{\sqrt{5}}{2}+\sqrt{3}}{1-(-\frac{\sqrt{5}}{2})(\sqrt{3})}\)

\(tan(\alpha+\frac{π}{3}) = \frac{\frac{-\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{\sqrt{15}}{2}}\)

\(tan(\alpha+\frac{π}{3}) = \frac{\frac{-\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{2}}{\frac{2+\sqrt{15}}{2}}\)

\(tan(\alpha+\frac{π}{3}) = \frac{-\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{2+\sqrt{15}}\)

Để cho giống với đáp án, chúng ta sẽ nhân cả tử và mẫu với liên hợp của mẫu, tức là \(2-\sqrt{15}\):

\(tan(\alpha+\frac{π}{3}) = \frac{(-\sqrt{5}+2\sqrt{3})(2-\sqrt{15})}{(2+\sqrt{15})(2-\sqrt{15})}\)

Tử số:

\((-\sqrt{5}+2\sqrt{3})(2-\sqrt{15}) = -2\sqrt{5} + \sqrt{5}\sqrt{15} + 4\sqrt{3} – 2\sqrt{3}\sqrt{15}\)

\(= -2\sqrt{5} + \sqrt{75} + 4\sqrt{3} – 2\sqrt{45}\)

\(= -2\sqrt{5} + 5\sqrt{3} + 4\sqrt{3} – 2(3\sqrt{5})\)

\(= -2\sqrt{5} + 9\sqrt{3} – 6\sqrt{5} = -8\sqrt{5} + 9\sqrt{3}\)

Mẫu số:

\((2+\sqrt{15})(2-\sqrt{15}) = 2^2 – (\sqrt{15})^2 = 4 – 15 = -11\)

Vậy,

\(tan(\alpha+\frac{π}{3}) = \frac{-8\sqrt{5}+9\sqrt{3}}{-11} = \frac{8\sqrt{5}-9\sqrt{3}}{11}\)

Giá trị này khác với đáp án đề bài cho là \(\frac{-8\sqrt{5}+9\sqrt{3}}{11}\). Lưu ý dấu trừ ở mẫu số.

Kết luận: Câu c) là Sai.

Câu d) \(cos(\frac{π}{4}-\alpha)=\frac{\sqrt{10}-2\sqrt{2}}{6}\)

Chúng ta sẽ sử dụng công thức cos hiệu:

\(cos(A-B) = cosAcosB + sinAsinB\)

Ở đây, \(A = \frac{π}{4}\) và \(B = \alpha\).

\(cos(\frac{π}{4}-\alpha) = cos\frac{π}{4}cos\alpha + sin\frac{π}{4}sin\alpha\)

Chúng ta biết \(cos\frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) và \(sin\frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Chúng ta đã có \(sin\alpha=\frac{\sqrt{5}}{3}\) và \(cos\alpha=-\frac{2}{3}\).

\(cos(\frac{π}{4}-\alpha) = (\frac{\sqrt{2}}{2})(-\frac{2}{3}) + (\frac{\sqrt{2}}{2})(\frac{\sqrt{5}}{3})\)

\(cos(\frac{π}{4}-\alpha) = -\frac{2\sqrt{2}}{6} + \frac{\sqrt{10}}{6}\)

\(cos(\frac{π}{4}-\alpha) = \frac{\sqrt{10}-2\sqrt{2}}{6}\)

Giá trị này hoàn toàn trùng khớp với đáp án đề bài cho.

Kết luận: Câu d) là Đúng.

Vậy, chốt lại các đáp án là: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.

Các em xem lại các bước giải và công thức đã sử dụng nhé. Có chỗ nào chưa hiểu thì hỏi cô ngay!