Bài toán: Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số trong tập S. Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 45.

Chúng ta sẽ đi từng bước một để giải quyết bài toán này.

Bước 1: Xác định tập hợp S.

Tập hợp S bao gồm tất cả các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau.
Một số có tám chữ số thì chữ số hàng triệu (chữ số đầu tiên) không thể là 0.
Các chữ số được sử dụng là các chữ số từ 0 đến 9, tức là có 10 chữ số.
Vì các chữ số phải đôi một khác nhau, nên chúng ta sẽ chọn và sắp xếp 8 chữ số từ 10 chữ số có sẵn.

Để đếm số lượng phần tử trong tập S, ta làm như sau:
– Chọn chữ số đầu tiên (hàng triệu): Có 9 cách chọn (từ 1 đến 9, vì không được là 0).
– Chọn 7 chữ số còn lại từ 9 chữ số còn lại (bao gồm cả 0 và 8 chữ số còn lại sau khi đã chọn chữ số đầu tiên): Số cách chọn và sắp xếp 7 chữ số này là \(P_{9}^{7}\) = \(9! / (9-7)!\) = \(9! / 2!\).

Vậy, tổng số các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau là:
Số phần tử của S = \(9 \times P_{9}^{7}\) = \(9 \times \frac{9!}{(9-7)!}\) = \(9 \times \frac{9!}{2!}\).

Chúng ta có thể tính toán giá trị này: \(9 \times \frac{362880}{2} = 9 \times 181440 = 1632960\).

Vậy, \(|S| = 1632960\).

Bước 2: Xác định điều kiện chia hết cho 45.

Một số chia hết cho 45 khi và chỉ khi nó chia hết cho cả 5 và 9.

* Điều kiện chia hết cho 5: Chữ số tận cùng của số đó phải là 0 hoặc 5.
* Điều kiện chia hết cho 9: Tổng các chữ số của số đó phải chia hết cho 9.

Bước 3: Đếm số các số trong S chia hết cho 45.

Gọi A là tập hợp con của S gồm các số chia hết cho 45. Chúng ta cần tìm \(|A|\).
Các số trong tập S có tám chữ số đôi một khác nhau.

Ta xét hai trường hợp cho chữ số tận cùng:

Trường hợp 1: Chữ số tận cùng là 0.
Số có dạng \(\overline{abcde fg 0}\).
Các chữ số a, b, c, d, e, f, g phải khác nhau và khác 0.
Tổng 8 chữ số là \(a+b+c+d+e+f+g+0\). Số này phải chia hết cho 9.
Điều này có nghĩa là \(a+b+c+d+e+f+g\) phải chia hết cho 9.

Các chữ số được sử dụng trong số có 8 chữ số là 8 chữ số khác nhau từ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Tổng của tất cả 10 chữ số là \(0+1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45\).
Nếu một số có 8 chữ số đôi một khác nhau có tổng chia hết cho 9, thì hai chữ số bị bỏ đi phải có tổng chia hết cho 9 (vì \(45 – (\text{tổng 8 chữ số}) = \text{tổng 2 chữ số bị bỏ đi}\)).

Các cặp hai chữ số khác nhau có tổng chia hết cho 9 là:
(0, 9), (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5).

Bây giờ ta xét trường hợp chữ số tận cùng là 0.
Số có dạng \(\overline{abcde fg 0}\).
Các chữ số còn lại là {a, b, c, d, e, f, g}. Chúng là 7 chữ số khác nhau, khác 0, và thuộc {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.

Trong trường hợp này, tập hợp 8 chữ số được chọn phải bao gồm số 0.
Hai chữ số bị bỏ đi không bao gồm 0 và có tổng chia hết cho 9. Các cặp này là:
(1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5).
Có 4 cặp như vậy.

Với mỗi cặp chữ số bị loại, ta sẽ có một bộ 8 chữ số. Ví dụ, nếu loại (1, 8), bộ 8 chữ số là {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}.

* Tập hợp 8 chữ số chứa 0 và chữ số cuối cùng là 0:
Ta cần chọn 7 chữ số khác từ tập {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} sao cho tổng của 7 chữ số đó cộng với 0 (chữ số cuối) chia hết cho 9. Điều này tương đương với việc tổng của 7 chữ số đó phải chia hết cho 9.
Cách đơn giản hơn là xét hai chữ số bị loại khỏi tập {0, 1, …, 9}.
Nếu chữ số cuối là 0, thì bộ 8 chữ số bao gồm 0.
Các bộ 8 chữ số chứa 0 mà tổng chia hết cho 9:
Bộ 8 chữ số bao gồm 0, và hai chữ số bị loại (không có 0) có tổng chia hết cho 9. Các cặp (không có 0) là (1, 8), (2, 7), (3, 6), (4, 5).
Có 4 bộ 8 chữ số như vậy.

Ví dụ, nếu ta chọn bộ {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} (loại 1, 8).
Ta cần lập số có 8 chữ số đôi một khác nhau, tận cùng là 0, từ bộ này.
Chữ số cuối là 0 (1 cách).
7 chữ số còn lại {2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} có thể sắp xếp vào 7 vị trí đầu tiên.
Số cách sắp xếp 7 chữ số này là 7!.
Vậy, với mỗi bộ 8 chữ số chứa 0 và có tổng chia hết cho 9, có 7! số thỏa mãn.

Có 4 bộ 8 chữ số như vậy.
Tổng số các số trong trường hợp này = \(4 \times 7! = 4 \times 5040 = 20160\).

Trường hợp 2: Chữ số tận cùng là 5.
Số có dạng \(\overline{abcde fg 5}\).
Các chữ số a, b, c, d, e, f, g phải khác nhau, khác 5.
Tổng 8 chữ số là \(a+b+c+d+e+f+g+5\). Số này phải chia hết cho 9.
Điều này có nghĩa là \(a+b+c+d+e+f+g+5 = 9k\) với k là số nguyên.
Hay \(a+b+c+d+e+f+g = 9k – 5\).

Xem xét hai chữ số bị loại khỏi tập {0, 1, …, 9}.
Nếu chữ số cuối là 5, thì bộ 8 chữ số bao gồm 5.
Các bộ 8 chữ số chứa 5 mà tổng chia hết cho 9:
Hai chữ số bị loại (không có 5) có tổng sao cho khi cộng với 5 sẽ chia hết cho 9.
Tổng 10 chữ số là 45. Tổng 8 chữ số là \(45 – (\text{tổng 2 chữ số bị loại})\).
Ta có \(45 – (\text{tổng 2 chữ số bị loại}) + 5\) chia hết cho 9.
\(50 – (\text{tổng 2 chữ số bị loại})\) chia hết cho 9.
Do đó, \(\text{tổng 2 chữ số bị loại}\) phải có dạng \(50 – 9m\).
Các giá trị có thể của \(\text{tổng 2 chữ số bị loại}\) (từ 0+1=1 đến 8+9=17) là:
Nếu \(m=5\), tổng là \(50 – 45 = 5\). Các cặp có tổng bằng 5 (không có 5): (0, 5) – loại vì có 5, (1, 4), (2, 3).
Nếu \(m=4\), tổng là \(50 – 36 = 14\). Các cặp có tổng bằng 14 (không có 5): (5, 9) – loại vì có 5, (6, 8).
Nếu \(m=3\), tổng là \(50 – 27 = 23\) (quá lớn).

Các cặp hai chữ số khác nhau (không có 5) có tổng mà \(50 – \text{tổng}\) chia hết cho 9:
* Tẩu 2 chữ số bị loại = 5: Cặp (1, 4), (2, 3).
Nếu loại (1, 4), bộ 8 chữ số là {0, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}. Tổng là 40. Thêm 5 là 45.
Nếu loại (2, 3), bộ 8 chữ số là {0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Tổng là 40. Thêm 5 là 45.
* Tẩu 2 chữ số bị loại = 14: Cặp (6, 8).
Nếu loại (6, 8), bộ 8 chữ số là {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9}. Tổng là 31. Thêm 5 là 36.

Chúng ta có 3 bộ 8 chữ số thỏa mãn điều kiện chữ số tận cùng là 5 và tổng chia hết cho 9.

Bây giờ, với mỗi bộ 8 chữ số này, ta cần đếm số các số có 8 chữ số đôi một khác nhau, tận cùng là 5, và được tạo thành từ bộ chữ số đó.

Xét một bộ 8 chữ số như {0, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}.
Chữ số tận cùng là 5 (1 cách).
7 chữ số còn lại {0, 2, 3, 6, 7, 8, 9} sẽ được sắp xếp vào 7 vị trí đầu.
Chữ số đầu tiên (hàng triệu) không được là 0.
Có 7 vị trí, 7 chữ số.
– Cách 1: Đếm tổng số hoán vị và trừ đi các trường hợp bắt đầu bằng 0.
Tổng số hoán vị của 7 chữ số này là 7!.
Các trường hợp bắt đầu bằng 0: 0 _ _ _ _ _ _ _. Có 6! cách sắp xếp 6 chữ số còn lại.
Số cách lập số = \(7! – 6! = 5040 – 720 = 4320\).

– Cách 2: Chọn chữ số đầu tiên.
Chữ số đầu tiên có thể là bất kỳ chữ số nào trong {2, 3, 6, 7, 8, 9} (6 cách).
Sau khi chọn chữ số đầu tiên, còn lại 6 chữ số (bao gồm cả 0).
6 chữ số này được sắp xếp vào 6 vị trí còn lại. Có 6! cách.
Số cách lập số = \(6 \times 6! = 6 \times 720 = 4320\).

Có 3 bộ 8 chữ số như vậy.
Tổng số các số trong trường hợp này = \(3 \times 4320 = 12960\).

Tổng số các số chia hết cho 45:
\(|A| = (\text{số trường hợp tận cùng là 0}) + (\text{số trường hợp tận cùng là 5})\)
\(|A| = 20160 + 12960 = 33120\).

Bước 4: Tính xác suất.

Xác suất để chọn được một số chia hết cho 45 là:
\(P(\text{chia hết cho 45}) = \frac{|A|}{|S|}\)
\(P = \frac{33120}{1632960}\)

Ta có thể rút gọn phân số này.
Chia cả tử và mẫu cho 10: \(\frac{3312}{163296}\)
Chia cả tử và mẫu cho 12: \(\frac{276}{13608}\)
Chia cả tử và mẫu cho 12: \(\frac{23}{1134}\)

Vậy, xác suất để số được chọn chia hết cho 45 là \(\frac{23}{1134}\).

Kết luận:
Tập hợp S là tập hợp các số tự nhiên có tám chữ số đôi một khác nhau.
Số phần tử của S là \(|S| = 9 \times P_{9}^{7} = 1632960\).
Số các số trong S chia hết cho 45 là 33120.
Xác suất cần tìm là \(\frac{33120}{1632960} = \frac{23}{1134}\).

Hy vọng các em đã hiểu rõ từng bước giải của bài toán này. Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi nhé!