Xin chào các em học sinh lớp 9! Hôm nay, thầy/cô sẽ cùng các em đi giải quyết hai bài toán thú vị liên quan đến các tỉ số lượng giác của góc nhọn. Chúng ta cùng bắt đầu nhé!

Bài 1: Cho biết cos∝ = 0,4. Hãy tìm sin∝, tan∝, cot∝

Các em thân mến, để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác cơ bản mà chúng ta đã được học.

Bước 1: Tìm sin∝

Chúng ta có công thức liên hệ giữa sin và cos của một góc là: \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \).

Từ đây, ta suy ra: \( \sin^2\alpha = 1 – \cos^2\alpha \).

Thay giá trị cos∝ = 0,4 vào công thức:

\( \sin^2\alpha = 1 – (0,4)^2 \)

\( \sin^2\alpha = 1 – 0,16 \)

\( \sin^2\alpha = 0,84 \)

Vì ∝ là góc nhọn, nên sin∝ sẽ mang giá trị dương. Do đó:

\( \sin\alpha = \sqrt{0,84} \)

Chúng ta có thể rút gọn căn bậc hai này hoặc để nguyên tùy theo yêu cầu của đề bài. Trong trường hợp này, để nguyên cho chính xác.

\( \sin\alpha = \sqrt{\frac{84}{100}} = \frac{\sqrt{84}}{10} = \frac{2\sqrt{21}}{10} = \frac{\sqrt{21}}{5} \)

Vậy, \( \sin\alpha = \frac{\sqrt{21}}{5} \).

Bước 2: Tìm tan∝

Chúng ta có công thức tính tan∝: \( \tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} \).

Thay các giá trị đã tìm được vào:

\( \tan\alpha = \frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{0,4} \)

\( \tan\alpha = \frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{\frac{4}{10}} = \frac{\frac{\sqrt{21}}{5}}{\frac{2}{5}} \)

\( \tan\alpha = \frac{\sqrt{21}}{5} \times \frac{5}{2} \)

\( \tan\alpha = \frac{\sqrt{21}}{2} \)

Vậy, \( \tan\alpha = \frac{\sqrt{21}}{2} \).

Bước 3: Tìm cot∝

Chúng ta có công thức tính cot∝: \( \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \).

Hoặc chúng ta cũng có thể dùng mối liên hệ \( \cot\alpha = \frac{1}{\tan\alpha} \).

Sử dụng công thức thứ hai cho tiện:

\( \cot\alpha = \frac{1}{\frac{\sqrt{21}}{2}} \)

\( \cot\alpha = \frac{2}{\sqrt{21}} \)

Để trục căn thức ở mẫu, ta nhân cả tử và mẫu với \( \sqrt{21} \):

\( \cot\alpha = \frac{2\sqrt{21}}{21} \)

Vậy, \( \cot\alpha = \frac{2\sqrt{21}}{21} \).

Kết luận bài 1: Với \( \cos\alpha = 0,4 \), ta có \( \sin\alpha = \frac{\sqrt{21}}{5} \), \( \tan\alpha = \frac{\sqrt{21}}{2} \), \( \cot\alpha = \frac{2\sqrt{21}}{21} \).

Bài 2: Cho góc nhọn ∝. Biết rằng cosα – sinα = 1/5. Hãy tính cot∝.

Bài toán này có vẻ phức tạp hơn một chút, nhưng đừng lo, chúng ta sẽ cùng nhau làm từng bước nhé.

Bước 1: Tìm mối liên hệ giữa cosα và sinα từ điều kiện đã cho.

Chúng ta có phương trình: \( \cos\alpha – \sin\alpha = \frac{1}{5} \).

Để sử dụng công thức \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \), chúng ta hãy thử bình phương hai vế của phương trình này:

\( (\cos\alpha – \sin\alpha)^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2 \)

\( \cos^2\alpha – 2\sin\alpha\cos\alpha + \sin^2\alpha = \frac{1}{25} \)

Chúng ta biết \( \cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1 \), vậy ta thay vào phương trình:

\( 1 – 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{1}{25} \)

Bây giờ, chúng ta có thể tìm giá trị của tích \( \sin\alpha\cos\alpha \):

\( 2\sin\alpha\cos\alpha = 1 – \frac{1}{25} \)

\( 2\sin\alpha\cos\alpha = \frac{24}{25} \)

\( \sin\alpha\cos\alpha = \frac{12}{25} \)

Bước 2: Tìm sinα và cosα (hoặc một mối liên hệ khác hữu ích hơn).

Từ \( \cos\alpha – \sin\alpha = \frac{1}{5} \), ta có \( \cos\alpha = \sin\alpha + \frac{1}{5} \).

Thay vào công thức \( \sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1 \):

\( \sin^2\alpha + \left(\sin\alpha + \frac{1}{5}\right)^2 = 1 \)

\( \sin^2\alpha + \sin^2\alpha + 2\sin\alpha\left(\frac{1}{5}\right) + \left(\frac{1}{5}\right)^2 = 1 \)

\( 2\sin^2\alpha + \frac{2}{5}\sin\alpha + \frac{1}{25} = 1 \)

Chuyển vế và quy đồng:

\( 2\sin^2\alpha + \frac{2}{5}\sin\alpha + \frac{1}{25} – 1 = 0 \)

\( 2\sin^2\alpha + \frac{2}{5}\sin\alpha – \frac{24}{25} = 0 \)

Nhân cả hai vế với 25 để loại bỏ mẫu số:

\( 50\sin^2\alpha + 10\sin\alpha – 24 = 0 \)

Chia cả hai vế cho 2:

\( 25\sin^2\alpha + 5\sin\alpha – 12 = 0 \)

Đây là một phương trình bậc hai theo \( \sin\alpha \). Ta có thể giải phương trình này bằng cách đặt \( x = \sin\alpha \): \( 25x^2 + 5x – 12 = 0 \).

Tính Delta: \( \Delta = b^2 – 4ac = 5^2 – 4(25)(-12) = 25 + 1200 = 1225 \).

Ta có \( \sqrt{\Delta} = \sqrt{1225} = 35 \).

Các nghiệm của phương trình là:

\( x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 + 35}{2(25)} = \frac{30}{50} = \frac{3}{5} \)

\( x_2 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-5 – 35}{2(25)} = \frac{-40}{50} = -\frac{4}{5} \)

Vì ∝ là góc nhọn, nên \( \sin\alpha > 0 \). Do đó, ta chọn \( \sin\alpha = \frac{3}{5} \).

Bây giờ, ta tìm \( \cos\alpha \) từ \( \cos\alpha = \sin\alpha + \frac{1}{5} \):

\( \cos\alpha = \frac{3}{5} + \frac{1}{5} = \frac{4}{5} \)

Bước 3: Tính cot∝

Chúng ta có công thức: \( \cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha} \).

Thay các giá trị đã tìm được vào:

\( \cot\alpha = \frac{\frac{4}{5}}{\frac{3}{5}} \)

\( \cot\alpha = \frac{4}{5} \times \frac{5}{3} \)

\( \cot\alpha = \frac{4}{3} \)

Kết luận bài 2: Với \( \cos\alpha – \sin\alpha = \frac{1}{5} \) và ∝ là góc nhọn, ta có \( \cot\alpha = \frac{4}{3} \).

Vậy là chúng ta đã hoàn thành hai bài toán. Các em thấy không, chỉ cần nắm vững các công thức lượng giác cơ bản và áp dụng một cách khéo léo, chúng ta có thể giải quyết được nhiều dạng bài tập khác nhau. Hãy cố gắng ôn tập thật kỹ các công thức này nhé!

Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô.

Chúc các em học tốt!