Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán hình học liên quan đến tam giác vuông và ứng dụng hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Đây là một dạng bài khá quen thuộc và quan trọng trong chương trình Toán lớp 9 của chúng ta.

Đề bài: Một tam giác vuông có cạnh huyền dài 13 cm. Hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7 cm. Tính độ dài hai cạnh góc vuông đó.

Chúng ta sẽ giải bài toán này theo các bước sau:

Bước 1: Gọi ẩn và đặt điều kiện

Để thuận tiện cho việc lập hệ phương trình, chúng ta sẽ gọi độ dài hai cạnh góc vuông là \(x\) và \(y\).

• Gọi độ dài một cạnh góc vuông là \(x\) (cm).
• Gọi độ dài cạnh góc vuông còn lại là \(y\) (cm).

Điều kiện: Vì \(x\) và \(y\) là độ dài của các cạnh trong tam giác, nên chúng phải là các số dương. Do đó, \(x > 0\) và \(y > 0\).

Bước 2: Lập hệ phương trình

Dựa vào các thông tin mà đề bài cung cấp, chúng ta sẽ lập hai phương trình:

1. Dựa vào định lý Pythagore:

Trong một tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông. Cạnh huyền của chúng ta dài 13 cm.

Vậy, ta có phương trình thứ nhất:

\(x^2 + y^2 = 13^2\)
\(x^2 + y^2 = 169\) (1)

2. Dựa vào thông tin hai cạnh góc vuông hơn kém nhau 7 cm:

Điều này có nghĩa là hiệu độ dài của hai cạnh góc vuông bằng 7 cm. Chúng ta có thể giả sử một cạnh dài hơn cạnh kia.

Giả sử cạnh \(x\) dài hơn cạnh \(y\), ta có:
\(x – y = 7\) (2)

Từ đây, chúng ta có thể biểu diễn \(x\) theo \(y\):
\(x = y + 7\)

Vậy, chúng ta có hệ phương trình cần giải là:

\(\begin{cases} x^2 + y^2 = 169 \\ x = y + 7 \end{cases}\)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thế để giải hệ phương trình này.

Thế biểu thức của \(x\) từ phương trình (2) vào phương trình (1):

\((y + 7)^2 + y^2 = 169\)

Bây giờ, chúng ta sẽ khai triển và rút gọn phương trình:

\(y^2 + 2 \cdot y \cdot 7 + 7^2 + y^2 = 169\)
\(y^2 + 14y + 49 + y^2 = 169\)
\(2y^2 + 14y + 49 – 169 = 0\)
\(2y^2 + 14y – 120 = 0\)

Chúng ta có thể chia cả hai vế của phương trình cho 2 để đơn giản hơn:

\(y^2 + 7y – 60 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai một ẩn. Chúng ta có thể giải bằng cách phân tích thành nhân tử hoặc dùng công thức nghiệm.

Cách 1: Phân tích thành nhân tử

Chúng ta cần tìm hai số có tích bằng -60 và tổng bằng 7. Đó là các số 12 và -5.

\(y^2 + 12y – 5y – 60 = 0\)
\(y(y + 12) – 5(y + 12) = 0\)
\((y + 12)(y – 5) = 0\)

Từ đây, ta có hai trường hợp:

\(y + 12 = 0 \Rightarrow y = -12\) (Loại, vì độ dài cạnh phải dương)

\(y – 5 = 0 \Rightarrow y = 5\) (Thỏa mãn điều kiện \(y > 0\))

Cách 2: Dùng công thức nghiệm

Với phương trình \(ay^2 + by + c = 0\), ta có \(a=1, b=7, c=-60\).

Tính biệt thức \(\Delta = b^2 – 4ac\):
\(\Delta = 7^2 – 4 \cdot 1 \cdot (-60)\)
\(\Delta = 49 + 240\)
\(\Delta = 289\)

Vì \(\Delta > 0\), phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(y_1 = \frac{-b – \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-7 – \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 – 17}{2} = \frac{-24}{2} = -12\)

\(y_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{289}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 17}{2} = \frac{10}{2} = 5\)

Vì độ dài cạnh không thể là số âm, nên chúng ta chọn \(y = 5\).

Bây giờ, chúng ta tìm giá trị của \(x\) bằng cách thay \(y = 5\) vào phương trình \(x = y + 7\):

\(x = 5 + 7\)
\(x = 12\)

Vậy, độ dài hai cạnh góc vuông là 12 cm và 5 cm.

Bước 4: Kiểm tra và kết luận

Kiểm tra lại với các điều kiện của đề bài:

• Hai cạnh góc vuông là 12 cm và 5 cm. Cả hai đều dương, thỏa mãn điều kiện.
• Hiệu của hai cạnh góc vuông: \(12 – 5 = 7\) cm (Thỏa mãn).
• Áp dụng định lý Pythagore: \(5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169\). Căn bậc hai của 169 là 13. Vậy, cạnh huyền là 13 cm (Thỏa mãn).

Tất cả các điều kiện đều được thỏa mãn.

Kết luận:
Vậy, độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác đó là 5 cm và 12 cm.

Chúc các em học tốt và nắm vững kiến thức này nhé!