Câu 1:

a) Biết \(cos\frac{π}{12}=\frac{a\sqrt{2}+b\sqrt{6}}{4}\) với \(a, b\) là các số tự nhiên. Tính tổng \(T = a + b\)?

Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị chính xác của \(cos\frac{π}{12}\). Ta có thể sử dụng công thức cộng hoặc trừ hai góc lượng giác.

Ta biết rằng: \( \frac{π}{12} = \frac{π}{3} – \frac{π}{4} \)

Áp dụng công thức \(cos(x – y) = cosxcosy + sinxsiny\), ta có:

\(cos\frac{π}{12} = cos(\frac{π}{3} – \frac{π}{4}) = cos\frac{π}{3}cos\frac{π}{4} + sin\frac{π}{3}sin\frac{π}{4}\)

Chúng ta đã biết các giá trị lượng giác cơ bản:

• \(cos\frac{π}{3} = \frac{1}{2}\)
• \(sin\frac{π}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}\)
• \(cos\frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
• \(sin\frac{π}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

Thay các giá trị này vào công thức:

\(cos\frac{π}{12} = (\frac{1}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{2}}{2})\)

\(cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6}}{4}\)

\(cos\frac{\pi}{12} = \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4}\)

Đề bài cho \(cos\frac{π}{12}=\frac{a\sqrt{2}+b\sqrt{6}}{4}\).

So sánh hai biểu thức ta thu được:

\( \frac{\sqrt{2} + \sqrt{6}}{4} = \frac{a\sqrt{2}+b\sqrt{6}}{4} \)

Suy ra:

\(a = 1\) và \(b = 1\).

Vì \(a\) và \(b\) là các số tự nhiên, điều này hoàn toàn thỏa mãn.

Bây giờ, chúng ta cần tính tổng \(T = a + b\):

\(T = 1 + 1 = 2\)

Vậy, \(T = 2\).

b) Cho tam giác \(ABC\) có \(cosA=\frac{4}{5}\) và \(cosB=\frac{5}{13}\). Tính \(130cosC-1\).

Trong một tam giác \(ABC\), tổng ba góc là \(π\) (hoặc 180 độ). Do đó:

\(A + B + C = π\)

Suy ra:

\(C = π – (A + B)\)

Khi đó, \(cosC\) sẽ có mối liên hệ với \(cos(A+B)\):

\(cosC = cos(π – (A + B)) = -cos(A + B)\)

Áp dụng công thức cộng góc cho \(cos(A+B)\):

\(cos(A + B) = cosAcosB – sinAsinB\)

Chúng ta đã biết \(cosA = \frac{4}{5}\) và \(cosB = \frac{5}{13}\). Tuy nhiên, để tính \(cos(A+B)\), chúng ta cần tìm \(sinA\) và \(sinB\).

Vì \(A\) và \(B\) là các góc trong một tam giác, nên \(A, B \in (0, π)\). Do đó, \(sinA > 0\) và \(sinB > 0\).

Sử dụng định lý \(sin^2x + cos^2x = 1\):

Tính \(sinA\):

\(sin^2A = 1 – cos^2A = 1 – (\frac{4}{5})^2 = 1 – \frac{16}{25} = \frac{25 – 16}{25} = \frac{9}{25}\)

\(sinA = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\) (vì \(sinA > 0\))

Tính \(sinB\):

\(sin^2B = 1 – cos^2B = 1 – (\frac{5}{13})^2 = 1 – \frac{25}{169} = \frac{169 – 25}{169} = \frac{144}{169}\)

\(sinB = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}\) (vì \(sinB > 0\))

Bây giờ, chúng ta thay các giá trị \(cosA, cosB, sinA, sinB\) vào công thức \(cos(A+B)\):

\(cos(A + B) = (\frac{4}{5})(\frac{5}{13}) – (\frac{3}{5})(\frac{12}{13})\)

\(cos(A + B) = \frac{20}{65} – \frac{36}{65}\)

\(cos(A + B) = \frac{20 – 36}{65} = -\frac{16}{65}\)

Tiếp theo, ta tìm \(cosC\):

\(cosC = -cos(A + B) = -(-\frac{16}{65}) = \frac{16}{65}\)

Cuối cùng, chúng ta tính giá trị của biểu thức \(130cosC-1\):

\(130cosC – 1 = 130(\frac{16}{65}) – 1\)

\(130cosC – 1 = (2 \times 65)(\frac{16}{65}) – 1\)

\(130cosC – 1 = 2 \times 16 – 1\)

\(130cosC – 1 = 32 – 1\)

\(130cosC – 1 = 31\)

Vậy, giá trị của \(130cosC-1\) là 31.

Các em thấy không, chỉ cần nắm vững các công thức lượng giác cơ bản và áp dụng một cách linh hoạt là chúng ta có thể giải quyết được những bài toán này. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, các em đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!