Bài toán: Cho biểu thức \(A = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots + \frac{1}{n^2}\). Chứng minh rằng \(A < 1\).

Để chứng minh \(A < 1\), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp so sánh. Chúng ta sẽ tìm cách biểu diễn mỗi số hạng trong tổng A dưới dạng một biểu thức lớn hơn và dễ dàng đánh giá hơn.

Xét một số hạng bất kỳ trong biểu thức A, ví dụ \(\frac{1}{k^2}\) với \(k \ge 2\).

Ta có bất đẳng thức sau:

\(k^2 > k^2 – 1\)

Do \(k \ge 2\), nên \(k^2 – 1 > 0\). Ta có thể viết lại như sau:

\(k^2 > (k-1)(k+1)\)

Lấy nghịch đảo hai vế của bất đẳng thức (và đổi chiều bất đẳng thức vì cả hai vế đều dương), ta được:

\(\frac{1}{k^2} < \frac{1}{(k-1)(k+1)}\)

Bây giờ, chúng ta sẽ tách biểu thức \(\frac{1}{(k-1)(k+1)}\) thành dạng hiệu của hai phân số. Ta sử dụng phương pháp phân tích thành phân thức tối giản:

\(\frac{1}{(k-1)(k+1)} = \frac{B}{k-1} + \frac{C}{k+1}\)

Quy đồng mẫu số:

\(1 = B(k+1) + C(k-1)\)

Cho \(k=1\), ta được \(1 = B(1+1) + C(1-1) \Rightarrow 1 = 2B \Rightarrow B = \frac{1}{2}\).

Cho \(k=-1\), ta được \(1 = B(-1+1) + C(-1-1) \Rightarrow 1 = -2C \Rightarrow C = -\frac{1}{2}\).

Vậy, ta có:

\(\frac{1}{(k-1)(k+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{k-1} – \frac{1}{k+1} \right)\)

Áp dụng điều này cho từng số hạng trong A:

Với \(k=2\): \(\frac{1}{2^2} < \frac{1}{1 \cdot 3} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right)\)

Với \(k=3\): \(\frac{1}{3^2} < \frac{1}{2 \cdot 4} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right)\)

Với \(k=4\): \(\frac{1}{4^2} < \frac{1}{3 \cdot 5} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right)\)

…

Với \(k=n\): \(\frac{1}{n^2} < \frac{1}{(n-1)(n+1)} = \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \right)\)

Cộng tất cả các bất đẳng thức này lại, ta được:

\(A = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < \frac{1}{2} \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \dots + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \right)\)

Ta nhóm các số hạng lại và đặt \(\frac{1}{2}\) ra ngoài:

\(A < \frac{1}{2} \left[ \left( 1 - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \right) \right]\)

Đây là một dạng tổng “telescoping” (tổng lồng nhau). Các số hạng ở giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau:

\(A < \frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right]\)

Lưu ý: Ở đây, có một chút sai sót trong việc nhóm, chúng ta cần nhóm lại cẩn thận hơn để thấy rõ sự triệt tiêu.

Hãy viết lại rõ hơn:

\(A < \frac{1}{2} \left[ \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n-2} - \frac{1}{n} \right) + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \right) \right]\)

Ta thấy:

– \(\frac{1}{3}\) của số hạng thứ nhất triệt tiêu với \(\frac{1}{3}\) của số hạng thứ ba.

– \(\frac{1}{4}\) của số hạng thứ hai sẽ triệt tiêu với một số hạng nào đó (nếu có thêm số hạng \(\frac{1}{4} – \frac{1}{6}\)). Tuy nhiên, ở đây chúng ta chỉ có các số hạng dạng \(\frac{1}{k-1} – \frac{1}{k+1}\).

Chúng ta sẽ viết lại chuỗi dưới dạng:

\(A < \frac{1}{2} \left[ \left( 1 - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{4} - \frac{1}{6} \right) + \dots + \left( \frac{1}{n-2} - \frac{1}{n} \right) + \left( \frac{1}{n-1} - \frac{1}{n+1} \right) \right]\)

Các số hạng bị triệt tiêu là: \(-\frac{1}{3}, -\frac{1}{4}, -\frac{1}{5}, \dots, -\frac{1}{n-1}\) và \(\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots, \frac{1}{n-1}\).

Vậy, các số hạng còn lại là:

\(A < \frac{1}{2} \left[ 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right]\)

Giờ ta tính tổng trong ngoặc:

\(1 + \frac{1}{2} – \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} = \frac{3}{2} – \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1}\)

Do \(n \ge 2\), nên \(n > 0\) và \(n+1 > 0\). Do đó, \(\frac{1}{n} > 0\) và \(\frac{1}{n+1} > 0\).

Vì vậy, \(\frac{3}{2} – \frac{1}{n} – \frac{1}{n+1} < \frac{3}{2}\).

Suy ra:

\(A < \frac{1}{2} \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{3}{4}\)

Và vì \(\frac{3}{4} < 1\), nên ta có:

\(A < \frac{3}{4} < 1\)

Do đó, ta đã chứng minh được \(A < 1\).

Kết luận: Với mọi \(n \ge 2\), ta có \(A = \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots + \frac{1}{n^2} < 1\).

Các em thấy đó, bằng cách sử dụng bất đẳng thức so sánh và kỹ thuật tách phân số, chúng ta đã giải quyết được bài toán này. Các em về nhà ôn tập và làm thêm các bài tập tương tự nhé!