Chào em! Cô rất vui được giúp em giải bài toán này. Đây là dạng bài tập cơ bản nhưng rất quan trọng trong chương căn bậc hai. Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải quyết từng phần một nhé.

Để so sánh hai số, chúng ta có thể làm theo các cách sau:

1. Tính giá trị cụ thể của từng số (nếu có thể) rồi so sánh.
2. So sánh bình phương của hai số (nếu cả hai số đều không âm). Nếu \(a^2 > b^2\) và \(a, b \ge 0\) thì \(a > b\).
3. Xét hiệu của hai số. Nếu \(a – b > 0\) thì \(a > b\). Nếu \(a – b < 0\) thì \(a < b\).

Chúng ta sẽ áp dụng các phương pháp này vào từng câu cụ thể.

— Lời giải chi tiết —

a) So sánh 7 và \( \sqrt{7} + \sqrt{15} \)

Để so sánh hai số này, vì cả hai số đều dương (\(7 > 0\) và \( \sqrt{7} + \sqrt{15} > 0 \)), chúng ta có thể bình phương cả hai vế để việc so sánh trở nên dễ dàng hơn.

Bước 1: Bình phương số thứ nhất

\( 7^2 = 49 \)

Bước 2: Bình phương số thứ hai

Ta có: \( (\sqrt{7} + \sqrt{15})^2 \)

Áp dụng hằng đẳng thức \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \), ta được:

\( (\sqrt{7} + \sqrt{15})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{15} + (\sqrt{15})^2 \)

\( = 7 + 2\sqrt{7 \cdot 15} + 15 \)

\( = 7 + 2\sqrt{105} + 15 \)

\( = 22 + 2\sqrt{105} \)

Bước 3: So sánh kết quả bình phương

Bây giờ, chúng ta cần so sánh \(49\) và \(22 + 2\sqrt{105}\).

Để dễ so sánh hơn, chúng ta sẽ chuyển số \(22\) sang vế của số \(49\):

So sánh \(49 – 22\) và \(2\sqrt{105}\)

Tức là, so sánh \(27\) và \(2\sqrt{105}\)

Vì cả \(27\) và \(2\sqrt{105}\) đều là các số dương, chúng ta lại tiếp tục bình phương hai vế để loại bỏ dấu căn:

\( 27^2 = 729 \)

\( (2\sqrt{105})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{105})^2 = 4 \cdot 105 = 420 \)

Bước 4: Rút ra kết luận

Ta thấy \(729 > 420\).

Điều này có nghĩa là:

\( 27^2 > (2\sqrt{105})^2 \)

Suy ra \( 27 > 2\sqrt{105} \) (vì cả hai số đều dương)

Quay lại các bước trước đó:

\( 49 – 22 > 2\sqrt{105} \)

\( 49 > 22 + 2\sqrt{105} \)

Hay \( 7^2 > (\sqrt{7} + \sqrt{15})^2 \)

Vì \(7 > 0\) và \( \sqrt{7} + \sqrt{15} > 0 \), nên từ \( 7^2 > (\sqrt{7} + \sqrt{15})^2 \), chúng ta có thể suy ra:

\( 7 > \sqrt{7} + \sqrt{15} \)

---

b) So sánh 8 và \( \sqrt{5} \times \sqrt{20} \)

Với bài này, chúng ta có thể tính giá trị của biểu thức chứa căn trước.

Bước 1: Tính giá trị của biểu thức \( \sqrt{5} \times \sqrt{20} \)

Áp dụng công thức nhân các căn bậc hai: \( \sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b} \) (với \(a, b \ge 0\)).

Ta có: \( \sqrt{5} \times \sqrt{20} = \sqrt{5 \times 20} \)

\( = \sqrt{100} \)

\( = 10 \)

Bước 2: So sánh

Bây giờ, bài toán trở thành so sánh \(8\) và \(10\).

Rõ ràng, \(8\) nhỏ hơn \(10\).

Bước 3: Rút ra kết luận

Vậy, \( 8 < \sqrt{5} \times \sqrt{20} \)

Hy vọng lời giải chi tiết này sẽ giúp em hiểu rõ bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi lại nhé!