Xin chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán chứng minh về tính chia hết rất thú vị. Bài toán yêu cầu chúng ta chứng minh rằng với mọi số nguyên \(n\), biểu thức \(n^5 – 5n^3 + 4n\) luôn chia hết cho 120.

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích biểu thức và sử dụng các tính chất của số học.

Bước 1: Phân tích biểu thức đã cho.

Biểu thức của chúng ta là: \(A = n^5 – 5n^3 + 4n\)

Chúng ta có thể đặt \(n\) làm nhân tử chung:

\(A = n(n^4 – 5n^2 + 4)\)

Bây giờ, chúng ta sẽ phân tích đa thức \(n^4 – 5n^2 + 4\) dưới dạng nhân tử. Đây là một đa thức bậc hai theo \(n^2\). Đặt \(x = n^2\), ta có \(x^2 – 5x + 4\). Chúng ta có thể phân tích thành nhân tử:

\(x^2 – 5x + 4 = (x – 1)(x – 4)\)

Thay \(x = n^2\) trở lại, ta được:

\(n^4 – 5n^2 + 4 = (n^2 – 1)(n^2 – 4)\)

Tiếp tục phân tích các hiệu bình phương:

\(n^2 – 1 = (n – 1)(n + 1)\)
\(n^2 – 4 = (n – 2)(n + 2)\)

Vậy, biểu thức \(A\) có thể viết lại như sau:

\(A = n \cdot (n – 1)(n + 1) \cdot (n – 2)(n + 2)\)
\(A = (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2)\)

Bước 2: Nhận xét về tích các số nguyên liên tiếp.

Biểu thức \(A\) bây giờ là tích của 5 số nguyên liên tiếp: \((n – 2), (n – 1), n, (n + 1), (n + 2)\).

Chúng ta cần chứng minh rằng tích này luôn chia hết cho 120.

Ta biết rằng \(120 = 3 \times 5 \times 8\). Chúng ta cần chứng minh \(A\) chia hết cho 3, chia hết cho 5 và chia hết cho 8.

Chứng minh chia hết cho 3:

Trong bất kỳ 3 số nguyên liên tiếp nào, luôn có một số chia hết cho 3. Vì tích \(A\) chứa 5 số nguyên liên tiếp, nên chắc chắn có ít nhất một số chia hết cho 3. Do đó, tích \(A\) chia hết cho 3.

Chứng minh chia hết cho 5:

Trong bất kỳ 5 số nguyên liên tiếp nào, luôn có một số chia hết cho 5. Vì \(A\) là tích của 5 số nguyên liên tiếp, nên chắc chắn có một số chia hết cho 5. Do đó, tích \(A\) chia hết cho 5.

Chứng minh chia hết cho 8:

Xét 5 số nguyên liên tiếp: \((n – 2), (n – 1), n, (n + 1), (n + 2)\).

Trong 5 số này, có ít nhất 2 số chẵn. Chúng ta cần chứng minh rằng tích của chúng chia hết cho 8.

Ta có thể xét các trường hợp:

• Nếu có 3 số chẵn liên tiếp, ví dụ: \(k, k+1, k+2, k+3, k+4\). Nếu \(k\) là số chẵn, thì \(k, k+2, k+4\) là 3 số chẵn. Trong 3 số chẵn liên tiếp, luôn có một số chia hết cho 4. Ví dụ: 2, 4, 6. Số 4 chia hết cho 4. Hoặc 4, 6, 8. Số 4 và 8 chia hết cho 4. Một số chia hết cho 4 và một số chẵn khác không chia hết cho 4 nhưng là số chẵn, thì tích của chúng sẽ chia hết cho 8. Hoặc nếu có hai số chia hết cho 4, ví dụ 4 và 8, thì tích của chúng đã chia hết cho 32.
• Trong 5 số nguyên liên tiếp, chắc chắn có ít nhất hai số chẵn. Ta có thể có các cặp số chẵn như sau:
  • Số chẵn, số lẻ, số chẵn, số lẻ, số chẵn (ví dụ: 2, 3, 4, 5, 6). Ở đây có 2, 4, 6. Số 4 chia hết cho 4, số 2 và 6 là số chẵn. Tích của chúng \(2 \times 4 \times 6 = 48\) chia hết cho 8.
  • Số lẻ, số chẵn, số lẻ, số chẵn, số lẻ (ví dụ: 1, 2, 3, 4, 5). Ở đây có 2, 4. Số 4 chia hết cho 4, số 2 là số chẵn. Tích của chúng \(2 \times 4 = 8\) chia hết cho 8.

Cách khác để chứng minh chia hết cho 8:

Trong 5 số nguyên liên tiếp, luôn có ít nhất 2 số chẵn. Gọi hai số chẵn đó là \(x\) và \(y\).

• Trường hợp 1: Hai số chẵn đó cách nhau 2 đơn vị (ví dụ: \(n\) và \(n+2\) là chẵn). Khi đó, một trong hai số này phải chia hết cho 4. Ví dụ: nếu \(n\) chẵn thì \(n\) hoặc \(n+2\) là bội của 4. Nếu \(n = 4k\), thì \(n\) chia hết cho 4. Nếu \(n = 4k+2\), thì \(n+2 = 4k+4\) chia hết cho 4. Vậy, trong trường hợp này, ta có một số chia hết cho 4 và một số chẵn khác, tích của chúng chia hết cho 8.
• Trường hợp 2: Hai số chẵn đó cách nhau 4 đơn vị (ví dụ: \(n-2\) và \(n+2\) là chẵn). Khi đó, \(n\) là số lẻ. Ví dụ: \(n-2, n, n+2\). Nếu \(n-2\) và \(n+2\) là chẵn, thì \(n\) là lẻ. Ta có \(n-2\) và \(n+2\). Hai số này cách nhau 4 đơn vị. Có hai khả năng:
  • \(n-2 = 4k\) và \(n+2 = 4k+4\). Tích \((4k)(4k+4)\) chia hết cho \(4 \times 4 = 16\), nên chia hết cho 8.
  • \(n-2 = 4k+2\) và \(n+2 = 4k+6\). Tích \((4k+2)(4k+6) = 2(2k+1) \cdot 2(2k+3) = 4(2k+1)(2k+3)\). Vì \((2k+1)\) và \((2k+3)\) là hai số lẻ liên tiếp, nên một trong hai số này phải là bội của 3 (không liên quan đến 8 ở đây). Tuy nhiên, chúng ta cần xét tính chẵn lẻ. Cả \((2k+1)\) và \((2k+3)\) đều là số lẻ. Tích của hai số lẻ là số lẻ. Do đó, ta cần xem xét lại.

Chúng ta có thể đơn giản hóa việc chứng minh chia hết cho 8 như sau: Trong 5 số nguyên liên tiếp, luôn có ít nhất 2 số chẵn.

• Nếu có 3 số chẵn, ví dụ: \((n-2), n, (n+2)\) đều chẵn (khi \(n\) chẵn).
  • Nếu \(n\) chia hết cho 4, thì \(n\) là bội của 4, và \(n-2\) hoặc \(n+2\) là số chẵn. Tích của bội của 4 với một số chẵn khác sẽ chia hết cho 8. Ví dụ: \(n=4\), ta có 2, 4, 6. Tích \(2 \times 4 \times 6 = 48\) chia hết cho 8.
  • Nếu \(n\) không chia hết cho 4, tức là \(n\) có dạng \(4k+2\). Khi đó \(n-2 = 4k\) và \(n+2 = 4k+4\). Cả \(n-2\) và \(n+2\) đều chia hết cho 4. Tích của hai bội của 4 chia hết cho 16, nên chia hết cho 8. Ví dụ: \(n=2\), ta có 0, 2, 4. Tích \(0 \times 2 \times 4 = 0\) chia hết cho 8. \(n=6\), ta có 4, 6, 8. Tích \(4 \times 6 \times 8 = 192\) chia hết cho 8.
• Nếu chỉ có 2 số chẵn trong 5 số liên tiếp. Điều này xảy ra khi \(n\) là số lẻ. Khi đó hai số chẵn liên tiếp là \(n-1\) và \(n+1\). Hai số này cách nhau 2 đơn vị. Trong hai số chẵn cách nhau 2 đơn vị, luôn có một số chia hết cho 4. Ví dụ: 2, 4 hoặc 6, 8. Do đó, tích của hai số chẵn này sẽ có một thừa số chia hết cho 4 và một thừa số chẵn khác, nên tích chia hết cho 8.

Như vậy, trong mọi trường hợp, tích của 5 số nguyên liên tiếp luôn chia hết cho 8.

Bước 3: Kết luận.

Vì biểu thức \(A = (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2)\) là tích của 5 số nguyên liên tiếp, nên:

• Nó luôn chia hết cho 3.
• Nó luôn chia hết cho 5.
• Nó luôn chia hết cho 8.

Do 3, 5, và 8 là các số nguyên tố cùng nhau từng đôi một (hay ước chung lớn nhất của chúng bằng 1), nên tích của chúng, \(3 \times 5 \times 8 = 120\), cũng sẽ là ước của \(A\).

Vậy, với mọi số nguyên \(n\), biểu thức \(n^5 – 5n^3 + 4n\) luôn chia hết cho 120.

Các em có câu hỏi nào không ạ?