Chào các em học sinh yêu quý!

Thầy/cô hiểu rằng các em đang muốn “khai triển” các biểu thức sau:

\(x² + 4x − 5\)

\(x² − 2x − 8\)

\(x² − 6x − 7\)

Trong Toán học, thuật ngữ “khai triển” thường dùng để biến đổi một tích thành một tổng (ví dụ: khai triển \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)). Tuy nhiên, các biểu thức mà các em đưa ra đã ở dạng một tổng (cụ thể là tam thức bậc hai). Rất có thể, yêu cầu của bài toán ở đây là “phân tích đa thức thành nhân tử”, tức là biến đổi các tổng này thành dạng tích của các nhân tử. Đây là một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 8 của chúng ta đấy!

Chúng ta sẽ cùng nhau thực hiện phân tích các đa thức này thành nhân tử nhé. Phương pháp chung cho các tam thức bậc hai có dạng \(x^2 + bx + c\) là tìm hai số \(p\) và \(q\) sao cho tích của chúng bằng \(c\) (\(p \cdot q = c\)) và tổng của chúng bằng \(b\) (\(p + q = b\)). Khi đó, tam thức có thể phân tích được thành \((x+p)(x+q)\).

Chúng ta cùng bắt đầu giải chi tiết từng bài một nhé:

Bài 1: Phân tích đa thức \(x² + 4x − 5\)

Đây là tam thức bậc hai có dạng \(x^2 + bx + c\), với \(b = 4\) và \(c = -5\).

Chúng ta cần tìm hai số \(p\) và \(q\) sao cho:

\(p \cdot q = -5\)

\(p + q = 4\)

Các cặp số nguyên có tích bằng \(-5\) là:

• \(1\) và \(-5\) (tổng là \(1 + (-5) = -4\))
• \(-1\) và \(5\) (tổng là \(-1 + 5 = 4\))

Chúng ta thấy cặp số \(-1\) và \(5\) thỏa mãn cả hai điều kiện trên (\( (-1) \cdot 5 = -5 \) và \( (-1) + 5 = 4 \)).

Vậy, chúng ta có thể phân tích đa thức như sau:

\(x² + 4x − 5\)

\(= x² – x + 5x − 5\)

\(= x(x – 1) + 5(x – 1)\)

\(= (x – 1)(x + 5)\)

Kết quả: \(x² + 4x − 5 = (x – 1)(x + 5)\)

Để kiểm tra lại, các em có thể nhân ngược lại: \((x – 1)(x + 5) = x^2 + 5x – x – 5 = x^2 + 4x – 5\). Kết quả đúng rồi!

Bài 2: Phân tích đa thức \(x² − 2x − 8\)

Đây là tam thức bậc hai với \(b = -2\) và \(c = -8\).

Chúng ta cần tìm hai số \(p\) và \(q\) sao cho:

\(p \cdot q = -8\)

\(p + q = -2\)

Các cặp số nguyên có tích bằng \(-8\) là:

• \(1\) và \(-8\) (tổng là \(1 + (-8) = -7\))
• \(-1\) và \(8\) (tổng là \(-1 + 8 = 7\))
• \(2\) và \(-4\) (tổng là \(2 + (-4) = -2\))
• \(-2\) và \(4\) (tổng là \(-2 + 4 = 2\))

Chúng ta thấy cặp số \(2\) và \(-4\) thỏa mãn cả hai điều kiện (\( 2 \cdot (-4) = -8 \) và \( 2 + (-4) = -2 \)).

Vậy, chúng ta có thể phân tích đa thức như sau:

\(x² − 2x − 8\)

\(= x² + 2x – 4x − 8\)

\(= x(x + 2) – 4(x + 2)\)

\(= (x + 2)(x – 4)\)

Kết quả: \(x² − 2x − 8 = (x + 2)(x – 4)\)

Kiểm tra lại: \((x + 2)(x – 4) = x^2 – 4x + 2x – 8 = x^2 – 2x – 8\). Chính xác!

Bài 3: Phân tích đa thức \(x² − 6x − 7\)

Đây là tam thức bậc hai với \(b = -6\) và \(c = -7\).

Chúng ta cần tìm hai số \(p\) và \(q\) sao cho:

\(p \cdot q = -7\)

\(p + q = -6\)

Các cặp số nguyên có tích bằng \(-7\) là:

• \(1\) và \(-7\) (tổng là \(1 + (-7) = -6\))
• \(-1\) và \(7\) (tổng là \(-1 + 7 = 6\))

Chúng ta thấy cặp số \(1\) và \(-7\) thỏa mãn cả hai điều kiện (\( 1 \cdot (-7) = -7 \) và \( 1 + (-7) = -6 \)).

Vậy, chúng ta có thể phân tích đa thức như sau:

\(x² − 6x − 7\)

\(= x² + x – 7x − 7\)

\(= x(x + 1) – 7(x + 1)\)

\(= (x + 1)(x – 7)\)

Kết quả: \(x² − 6x − 7 = (x + 1)(x – 7)\)

Kiểm tra lại: \((x + 1)(x – 7) = x^2 – 7x + x – 7 = x^2 – 6x – 7\). Rất tốt!

Thầy/cô hy vọng bài giải chi tiết này đã giúp các em hiểu rõ cách “phân tích đa thức thành nhân tử” đối với các tam thức bậc hai dạng \(x^2 + bx + c\). Các em hãy luyện tập thêm để thành thạo dạng bài này nhé! Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy/cô!

Chúc các em học tốt!