Bài toán: Hai người thợ làm cùng một công việc trong 15 giờ thì xong. Nếu người thứ nhất làm một mình trong 3 giờ, người thợ thứ hai làm tiếp trong 5 giờ thì họ làm được 25% khối lượng công việc. Hỏi mỗi người thợ làm một mình thì mất bao lâu để hoàn thành công việc?

Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích bài toán này từng bước nhé.

Bước 1: Đặt ẩn và xác định mối quan hệ

Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình hoàn thành công việc là \(x\) (giờ).

Gọi thời gian người thứ hai làm một mình hoàn thành công việc là \(y\) (giờ).

Trong 1 giờ, người thứ nhất làm được \(\frac{1}{x}\) khối lượng công việc.

Trong 1 giờ, người thứ hai làm được \(\frac{1}{y}\) khối lượng công việc.

Bước 2: Lập hệ phương trình dựa trên các thông tin của bài toán

Dữ kiện 1: Hai người thợ làm cùng một công việc trong 15 giờ thì xong.

Điều này có nghĩa là trong 1 giờ, cả hai người làm được \(\frac{1}{15}\) khối lượng công việc.

Ta có phương trình:

\( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{15} \) (1)

Dữ kiện 2: Nếu người thứ nhất làm một mình trong 3 giờ, người thợ thứ hai làm tiếp trong 5 giờ thì họ làm được 25% khối lượng công việc.

25% khối lượng công việc tương đương với \(\frac{25}{100} = \frac{1}{4}\) khối lượng công việc.

Trong 3 giờ, người thứ nhất làm được \(3 \times \frac{1}{x} = \frac{3}{x}\) khối lượng công việc.

Trong 5 giờ, người thứ hai làm được \(5 \times \frac{1}{y} = \frac{5}{y}\) khối lượng công việc.

Tổng khối lượng công việc họ làm được là \(\frac{1}{4}\).

Ta có phương trình:

\( \frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4} \) (2)

Bước 3: Giải hệ phương trình

Chúng ta có hệ phương trình:

\( \begin{cases} \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{15} \\ \frac{3}{x} + \frac{5}{y} = \frac{1}{4} \end{cases} \)

Để giải hệ phương trình này, chúng ta có thể đặt ẩn phụ.

Đặt \(a = \frac{1}{x}\) và \(b = \frac{1}{y}\).

Hệ phương trình trở thành:

\( \begin{cases} a + b = \frac{1}{15} \\ 3a + 5b = \frac{1}{4} \end{cases} \)

Bây giờ chúng ta giải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn \(a\) và \(b\).

Từ phương trình đầu tiên, ta có: \(a = \frac{1}{15} – b\).

Thế \(a\) vào phương trình thứ hai:

\( 3\left(\frac{1}{15} – b\right) + 5b = \frac{1}{4} \)
\( \frac{3}{15} – 3b + 5b = \frac{1}{4} \)
\( \frac{1}{5} + 2b = \frac{1}{4} \)
\( 2b = \frac{1}{4} – \frac{1}{5} \)
\( 2b = \frac{5 – 4}{20} \)
\( 2b = \frac{1}{20} \)
\( b = \frac{1}{40} \)

Bây giờ, thế giá trị của \(b\) vào để tìm \(a\):

\( a = \frac{1}{15} – b = \frac{1}{15} – \frac{1}{40} \)

Tìm mẫu số chung của 15 và 40 là 120.

\( a = \frac{8}{120} – \frac{3}{120} \)
\( a = \frac{5}{120} \)
\( a = \frac{1}{24} \)

Bước 4: Tìm lại x và y

Chúng ta có: \(a = \frac{1}{x}\) và \(b = \frac{1}{y}\).

Với \(a = \frac{1}{24}\), ta có \(\frac{1}{x} = \frac{1}{24}\), suy ra \(x = 24\).

Với \(b = \frac{1}{40}\), ta có \(\frac{1}{y} = \frac{1}{40}\), suy ra \(y = 40\).

Bước 5: Kiểm tra lại kết quả

Nếu \(x=24\) và \(y=40\):

Dữ kiện 1: \(\frac{1}{24} + \frac{1}{40} = \frac{5}{120} + \frac{3}{120} = \frac{8}{120} = \frac{1}{15}\). (Đúng)

Dữ kiện 2: \(\frac{3}{24} + \frac{5}{40} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\). (Đúng)

Kết luận:

Vậy, người thứ nhất làm một mình thì mất 24 giờ để hoàn thành công việc.

Người thứ hai làm một mình thì mất 40 giờ để hoàn thành công việc.

Các em thấy đó, khi chúng ta chia nhỏ bài toán ra và đặt ẩn hợp lý, việc giải quyết sẽ trở nên dễ dàng hơn rất nhiều. Các em hãy cố gắng luyện tập thêm nhiều bài toán tương tự để nâng cao kỹ năng giải toán của mình nhé!