Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán rất thú vị về việc tìm số tự nhiên có hai chữ số. Đây là dạng bài tập giúp chúng ta rèn luyện kỹ năng đặt ẩn và giải hệ phương trình.

Đề bài của chúng ta như sau: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng tổng các chữ số của nó bằng 5 và tổng bình phương hai chữ số của nó bằng 13.

Chúng ta hãy cùng nhau phân tích và giải quyết bài toán này nhé!

Bước 1: Gọi ẩn và thiết lập điều kiện

Một số tự nhiên có hai chữ số có dạng \(\overline{ab}\), trong đó:

• \(a\) là chữ số hàng chục. Điều kiện là \(a \in \{1, 2, …, 9\}\) (vì \(a\) không thể bằng 0).
• \(b\) là chữ số hàng đơn vị. Điều kiện là \(b \in \{0, 1, …, 9\}\).
• Cả \(a\) và \(b\) đều là các số nguyên.

Bước 2: Dựa vào đề bài để lập hệ phương trình

Theo đề bài, chúng ta có hai thông tin quan trọng:

1. Tổng các chữ số của nó bằng 5:
   Chữ số hàng chục là \(a\), chữ số hàng đơn vị là \(b\).
   Vậy, ta có phương trình thứ nhất:
   \(a + b = 5\) (1)
2. Tổng bình phương hai chữ số của nó bằng 13:
   Bình phương chữ số hàng chục là \(a^2\).
   Bình phương chữ số hàng đơn vị là \(b^2\).
   Vậy, ta có phương trình thứ hai:
   \(a^2 + b^2 = 13\) (2)

Bây giờ, chúng ta có một hệ phương trình với hai ẩn \(a\) và \(b\):

\[ \begin{cases} a + b = 5 \quad (1) \\ a^2 + b^2 = 13 \quad (2) \end{cases} \]

Bước 3: Giải hệ phương trình

Để giải hệ này, phương pháp thế là hiệu quả nhất. Từ phương trình (1), chúng ta có thể biểu diễn \(b\) theo \(a\) (hoặc ngược lại):

Từ (1): \(b = 5 – a\) (3)

Bây giờ, chúng ta thế (3) vào phương trình (2):

\(a^2 + (5 – a)^2 = 13\)

Khai triển \((5 – a)^2\) (các em nhớ hằng đẳng thức \((A – B)^2 = A^2 – 2AB + B^2\) nhé):

\(a^2 + (5^2 – 2 \cdot 5 \cdot a + a^2) = 13\)

\(a^2 + 25 – 10a + a^2 = 13\)

Gom các hạng tử đồng dạng:

\(2a^2 – 10a + 25 = 13\)

Chuyển số 13 sang vế trái để đưa về phương trình bậc hai dạng chuẩn:

\(2a^2 – 10a + 25 – 13 = 0\)

\(2a^2 – 10a + 12 = 0\)

Chúng ta có thể chia cả hai vế cho 2 để đơn giản hóa phương trình:

\(a^2 – 5a + 6 = 0\)

Đây là một phương trình bậc hai. Các em có thể giải bằng cách dùng công thức nghiệm, hoặc phân tích thành nhân tử. Với số liệu này, phân tích thành nhân tử sẽ nhanh hơn:

Ta tìm hai số có tích bằng 6 và tổng bằng -5. Đó là -2 và -3.

\(a^2 – 2a – 3a + 6 = 0\)

\(a(a – 2) – 3(a – 2) = 0\)

\((a – 2)(a – 3) = 0\)

Từ đây, ta có hai trường hợp:

• Trường hợp 1: \(a – 2 = 0 \implies a = 2\)
• Trường hợp 2: \(a – 3 = 0 \implies a = 3\)

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm giá trị của \(b\) tương ứng với mỗi giá trị của \(a\) bằng cách thay vào phương trình (3) \(b = 5 – a\).

• Nếu \(a = 2\):
  
  \(b = 5 – 2 = 3\)
• Nếu \(a = 3\):
  
  \(b = 5 – 3 = 2\)

Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận

Chúng ta cần kiểm tra xem các cặp \((a, b)\) tìm được có thỏa mãn các điều kiện ban đầu không:

• \(a \in \{1, 2, …, 9\}\)
• \(b \in \{0, 1, …, 9\}\)

Trường hợp 1: \(a = 2, b = 3\)

• \(a = 2\) thỏa mãn điều kiện chữ số hàng chục.
• \(b = 3\) thỏa mãn điều kiện chữ số hàng đơn vị.
• Kiểm tra tổng các chữ số: \(2 + 3 = 5\) (Đúng)
• Kiểm tra tổng bình phương các chữ số: \(2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13\) (Đúng)
• Vậy, số 23 là một nghiệm hợp lệ.

Trường hợp 2: \(a = 3, b = 2\)

• \(a = 3\) thỏa mãn điều kiện chữ số hàng chục.
• \(b = 2\) thỏa mãn điều kiện chữ số hàng đơn vị.
• Kiểm tra tổng các chữ số: \(3 + 2 = 5\) (Đúng)
• Kiểm tra tổng bình phương các chữ số: \(3^2 + 2^2 = 9 + 4 = 13\) (Đúng)
• Vậy, số 32 cũng là một nghiệm hợp lệ.

Bước 5: Trả lời

Vậy, có hai số tự nhiên có hai chữ số thỏa mãn các điều kiện của đề bài là 23 và 32.

Các em thấy đó, chỉ cần chúng ta gọi ẩn đúng, lập hệ phương trình chính xác và giải cẩn thận là sẽ tìm được đáp án. Hãy ghi nhớ cách làm này cho các bài toán tương tự nhé!

Chúc các em học tốt!