Xin chào các em học sinh yêu quý! Hôm nay, thầy trò chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một dạng bài tập rất thú vị trong chương trình Đại số lớp 8, đó là chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến. Điều này có nghĩa là dù biến x có giá trị bao nhiêu đi chăng nữa, thì kết quả của biểu thức đó vẫn là một hằng số. Để làm được điều này, chúng ta cần vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức đáng nhớ mà chúng ta đã học.

Chúng ta hãy cùng đi vào từng bài tập nhé!

Bài A: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

\(A=(3x-1)^2+(3x+1)^2-2(3x-1)(3x+1)\)

Lời giải chi tiết:

Quan sát biểu thức A, các em có nhận ra đây là một dạng hằng đẳng thức quen thuộc không?

Nếu chúng ta đặt \(a = (3x-1)\) và \(b = (3x+1)\), thì biểu thức A sẽ có dạng:

\(A = a^2 + b^2 – 2ab\)

Đây chính là hằng đẳng thức bình phương của một hiệu: \((a-b)^2\).

Vậy, chúng ta sẽ áp dụng hằng đẳng thức này để rút gọn biểu thức A:

\(A = [(3x-1) – (3x+1)]^2\)

Bây giờ, chúng ta thực hiện phép trừ bên trong dấu ngoặc vuông:

\(A = [3x – 1 – 3x – 1]^2\)

Gom các hạng tử đồng dạng:

\(A = [(3x – 3x) + (-1 – 1)]^2\)

\(A = [0 – 2]^2\)

\(A = (-2)^2\)

\(A = 4\)

Kết quả cuối cùng của biểu thức A là 4, một hằng số. Giá trị này không chứa biến x.

Vậy, giá trị của biểu thức A không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Bài B: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

\(B=(x+2)^3-(x-2)^3-12(x^2+1)\)

Lời giải chi tiết:

Đối với biểu thức B, chúng ta cần khai triển các lũy thừa bậc ba bằng các hằng đẳng thức lập phương của một tổng và lập phương của một hiệu:

Nhắc lại các hằng đẳng thức:

\((a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3\)

\((a-b)^3 = a^3 – 3a^2b + 3ab^2 – b^3\)

Áp dụng vào từng phần của biểu thức B:

1. Khai triển \((x+2)^3\):

\((x+2)^3 = x^3 + 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 + 2^3\)

\((x+2)^3 = x^3 + 6x^2 + 12x + 8\)

2. Khai triển \((x-2)^3\):

\((x-2)^3 = x^3 – 3 \cdot x^2 \cdot 2 + 3 \cdot x \cdot 2^2 – 2^3\)

\((x-2)^3 = x^3 – 6x^2 + 12x – 8\)

Bây giờ, thay thế các kết quả khai triển vào biểu thức B:

\(B = (x^3 + 6x^2 + 12x + 8) – (x^3 – 6x^2 + 12x – 8) – 12(x^2+1)\)

Tiến hành phá ngoặc. Lưu ý dấu trừ đằng trước ngoặc thứ hai và dấu trừ đằng trước 12:

\(B = x^3 + 6x^2 + 12x + 8 – x^3 + 6x^2 – 12x + 8 – 12x^2 – 12\)

Tiếp theo, chúng ta sẽ nhóm các hạng tử đồng dạng lại và rút gọn:

Các hạng tử chứa \(x^3\): \(x^3 – x^3 = 0\)

Các hạng tử chứa \(x^2\): \(6x^2 + 6x^2 – 12x^2 = 12x^2 – 12x^2 = 0\)

Các hạng tử chứa \(x\): \(12x – 12x = 0\)

Các hằng số: \(8 + 8 – 12 = 16 – 12 = 4\)

Vậy, sau khi rút gọn, chúng ta có:

\(B = 0 + 0 + 0 + 4\)

\(B = 4\)

Kết quả cuối cùng của biểu thức B là 4, một hằng số. Giá trị này không chứa biến x.

Vậy, giá trị của biểu thức B không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Bài C: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

\(C=(x+3)(x^2-3x+9)-(x-2)(x^2+2x+4)\)

Lời giải chi tiết:

Nhìn vào biểu thức C, chúng ta nhận ra ngay các dạng của hằng đẳng thức tổng của hai lập phương và hiệu của hai lập phương:

Nhắc lại các hằng đẳng thức:

\((a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3\)

\((a-b)(a^2+ab+b^2) = a^3-b^3\)

Áp dụng vào từng phần của biểu thức C:

1. Phần thứ nhất: \((x+3)(x^2-3x+9)\)

Đây có dạng \((a+b)(a^2-ab+b^2)\) với \(a=x\) và \(b=3\).

Vì \(x^2-3x+9 = x^2 – x \cdot 3 + 3^2\).

Vậy, \((x+3)(x^2-3x+9) = x^3 + 3^3 = x^3 + 27\).

2. Phần thứ hai: \((x-2)(x^2+2x+4)\)

Đây có dạng \((a-b)(a^2+ab+b^2)\) với \(a=x\) và \(b=2\).

Vì \(x^2+2x+4 = x^2 + x \cdot 2 + 2^2\).

Vậy, \((x-2)(x^2+2x+4) = x^3 – 2^3 = x^3 – 8\).

Bây giờ, thay thế các kết quả vào biểu thức C:

\(C = (x^3 + 27) – (x^3 – 8)\)

Tiến hành phá ngoặc. Lưu ý dấu trừ đằng trước ngoặc thứ hai:

\(C = x^3 + 27 – x^3 + 8\)

Gom các hạng tử đồng dạng:

Các hạng tử chứa \(x^3\): \(x^3 – x^3 = 0\)

Các hằng số: \(27 + 8 = 35\)

Vậy, sau khi rút gọn, chúng ta có:

\(C = 0 + 35\)

\(C = 35\)

Kết quả cuối cùng của biểu thức C là 35, một hằng số. Giá trị này không chứa biến x.

Vậy, giá trị của biểu thức C không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Bài G: Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

\(G=(2x-1)(4x^2+2x+1)-8(x+2)(x^2-2x+4)\)

Lời giải chi tiết:

Tương tự như Bài C, biểu thức G cũng chứa các dạng của hằng đẳng thức tổng của hai lập phương và hiệu của hai lập phương.

Áp dụng vào từng phần của biểu thức G:

1. Phần thứ nhất: \((2x-1)(4x^2+2x+1)\)

Đây có dạng \((a-b)(a^2+ab+b^2)\) với \(a=2x\) và \(b=1\).

Vì \(4x^2+2x+1 = (2x)^2 + (2x)(1) + 1^2\).

Vậy, \((2x-1)(4x^2+2x+1) = (2x)^3 – 1^3 = 8x^3 – 1\).

2. Phần thứ hai: \((x+2)(x^2-2x+4)\)

Đây có dạng \((a+b)(a^2-ab+b^2)\) với \(a=x\) và \(b=2\).

Vì \(x^2-2x+4 = x^2 – x \cdot 2 + 2^2\).

Vậy, \((x+2)(x^2-2x+4) = x^3 + 2^3 = x^3 + 8\).

Bây giờ, thay thế các kết quả vào biểu thức G:

\(G = (8x^3 – 1) – 8(x^3 + 8)\)

Tiến hành phá ngoặc. Lưu ý nhân 8 vào ngoặc thứ hai và dấu trừ đằng trước 8:

\(G = 8x^3 – 1 – (8 \cdot x^3 + 8 \cdot 8)\)

\(G = 8x^3 – 1 – (8x^3 + 64)\)

\(G = 8x^3 – 1 – 8x^3 – 64\)

Gom các hạng tử đồng dạng:

Các hạng tử chứa \(x^3\): \(8x^3 – 8x^3 = 0\)

Các hằng số: \(-1 – 64 = -65\)

Vậy, sau khi rút gọn, chúng ta có:

\(G = 0 – 65\)

\(G = -65\)

Kết quả cuối cùng của biểu thức G là -65, một hằng số. Giá trị này không chứa biến x.

Vậy, giá trị của biểu thức G không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Qua các bài tập trên, các em có thể thấy rằng việc nắm vững các hằng đẳng thức đáng nhớ là chìa khóa để giải quyết nhanh chóng và chính xác các bài toán rút gọn biểu thức, đặc biệt là dạng toán chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào giá trị của biến. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo các hằng đẳng thức này nhé!

Chúc các em học tốt!