Chào tất cả các em học sinh!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết hai bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử và rút gọn đa thức. Đây là những dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 8 của chúng ta.

Bài 1: Phân tích đa thức thành nhân tử \( x^2 – 9x – 8\)

Để phân tích đa thức bậc hai dạng \(x^2 + bx + c\) thành nhân tử (với các hệ số nguyên), chúng ta thường tìm hai số \(p\) và \(q\) sao cho:

• Tích của chúng bằng \(c\) (hệ số tự do), tức là \(p \times q = c\).
• Tổng của chúng bằng \(b\) (hệ số của \(x\)), tức là \(p + q = b\).

Trong bài toán của chúng ta, đa thức là \(x^2 – 9x – 8\). Khi đó:

• Hệ số tự do \(c = -8\).
• Hệ số của \(x\) là \(b = -9\).

Chúng ta cần tìm hai số nguyên \(p\) và \(q\) mà có tích bằng \(-8\) và tổng bằng \(-9\).

Hãy cùng liệt kê các cặp số nguyên có tích bằng \(-8\) và kiểm tra tổng của chúng:

1. Cặp \(p=1, q=-8\): Tích \(1 \times (-8) = -8\). Tổng \(1 + (-8) = -7\). (Không phải \(-9\))
2. Cặp \(p=-1, q=8\): Tích \((-1) \times 8 = -8\). Tổng \(-1 + 8 = 7\). (Không phải \(-9\))
3. Cặp \(p=2, q=-4\): Tích \(2 \times (-4) = -8\). Tổng \(2 + (-4) = -2\). (Không phải \(-9\))
4. Cặp \(p=-2, q=4\): Tích \((-2) \times 4 = -8\). Tổng \(-2 + 4 = 2\). (Không phải \(-9\))

Sau khi kiểm tra tất cả các cặp số nguyên có tích bằng \(-8\), chúng ta thấy rằng không có cặp số nguyên nào thỏa mãn đồng thời cả hai điều kiện trên (tích bằng \(-8\) và tổng bằng \(-9\)).

Kết luận: Đa thức \(x^2 – 9x – 8\) không thể phân tích thành nhân tử với các hệ số nguyên. Trong phạm vi kiến thức lớp 8, chúng ta thường chỉ phân tích thành nhân tử với các hệ số là số nguyên (hoặc số hữu tỉ tùy trường hợp cụ thể). Các em sẽ học cách phân tích các đa thức như thế này ở các lớp cao hơn khi được giới thiệu về nghiệm của phương trình bậc hai.

Bài 2: Rút gọn đa thức \(A = (2x + 1)^3 – 6x(2x+1)\)

Để rút gọn biểu thức này, chúng ta hãy quan sát kỹ các số hạng. Các em có thấy nhân tử chung nào xuất hiện ở cả hai số hạng không?

Chúng ta có thể thấy rõ nhân tử chung là \( (2x+1) \).

Bước 1: Đặt nhân tử chung \( (2x+1) \) ra ngoài.

\[ A = (2x+1)^3 – 6x(2x+1) \]

\[ A = (2x+1) [ (2x+1)^2 – 6x ] \]

Bước 2: Khai triển \((2x+1)^2\) bên trong dấu ngoặc vuông.

Chúng ta sử dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng: \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \).

Trong trường hợp này, \(a = 2x\) và \(b = 1\):

\[ (2x+1)^2 = (2x)^2 + 2 \times (2x) \times 1 + 1^2 \]

\[ (2x+1)^2 = 4x^2 + 4x + 1 \]

Bước 3: Thay kết quả khai triển vào biểu thức của \(A\) và rút gọn phần bên trong ngoặc vuông.

\[ A = (2x+1) [ (4x^2 + 4x + 1) – 6x ] \]

Bây giờ, chúng ta rút gọn biểu thức trong dấu ngoặc vuông:

\[ 4x^2 + 4x + 1 – 6x = 4x^2 + (4x – 6x) + 1 \]

\[ = 4x^2 – 2x + 1 \]

Vậy, biểu thức \(A\) trở thành:

\[ A = (2x+1)(4x^2 – 2x + 1) \]

Bước 4: Nhận diện hằng đẳng thức (nếu có).

Các em có nhận ra dạng của hằng đẳng thức nào không? Đây chính là dạng khai triển của tổng hai lập phương: \( a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 – ab + b^2) \).

Nếu chúng ta đặt \(a = 2x\) và \(b = 1\), ta có:

• \( (a+b) = (2x+1) \)
• \( (a^2 – ab + b^2) = ((2x)^2 – (2x)(1) + 1^2) = (4x^2 – 2x + 1) \)

Thấy chưa, biểu thức của chúng ta hoàn toàn khớp với vế phải của hằng đẳng thức tổng hai lập phương!

Do đó, chúng ta có thể rút gọn \(A\) thành:

\[ A = (2x)^3 + 1^3 \]

\[ A = 8x^3 + 1 \]

Vậy, biểu thức đã rút gọn là \(A = 8x^3 + 1\).

Hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải hai bài toán này. Hãy luyện tập thêm để nắm vững kiến thức nhé!