Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết hai bài toán chứng minh bất đẳng thức bằng một phương pháp rất hiệu quả, đó là phương pháp xét hiệu. Phương pháp này dựa trên nguyên lý cơ bản:

– Để chứng minh \( A > B \), ta sẽ chứng minh hiệu \( A – B > 0 \).

– Để chứng minh \( A < B \), ta sẽ chứng minh hiệu \( A - B < 0 \).

Hãy cùng bắt đầu nhé!

Bài a: Chứng minh \( \sqrt{29} – \sqrt{6} > \sqrt{28} – \sqrt{6} \)

Để chứng minh một bất đẳng thức dạng \( A > B \), ta sẽ xét hiệu \( A – B \). Nếu hiệu này dương (lớn hơn 0), thì bất đẳng thức được chứng minh.

Đặt \( A = \sqrt{29} – \sqrt{6} \) và \( B = \sqrt{28} – \sqrt{6} \).

Ta xét hiệu \( A – B \):

\( A – B = (\sqrt{29} – \sqrt{6}) – (\sqrt{28} – \sqrt{6}) \)

Bước tiếp theo, chúng ta sẽ mở ngoặc và rút gọn biểu thức:

\( A – B = \sqrt{29} – \sqrt{6} – \sqrt{28} + \sqrt{6} \)

Ở đây, các em thấy có hai số hạng \( -\sqrt{6} \) và \( +\sqrt{6} \) triệt tiêu lẫn nhau.

\( A – B = \sqrt{29} – \sqrt{28} \)

Bây giờ, ta cần so sánh \( \sqrt{29} \) và \( \sqrt{28} \).

Chúng ta biết rằng, với hai số dương \( x \) và \( y \), nếu \( x > y \), thì \( \sqrt{x} > \sqrt{y} \) (vì hàm số căn bậc hai là hàm đồng biến trên tập hợp các số không âm).

Vì \( 29 > 28 \) (một điều hiển nhiên),

nên suy ra \( \sqrt{29} > \sqrt{28} \).

Từ đó, ta có \( \sqrt{29} – \sqrt{28} > 0 \).

Vậy, \( A – B > 0 \), hay \( (\sqrt{29} – \sqrt{6}) – (\sqrt{28} – \sqrt{6}) > 0 \).

Điều này chứng tỏ \( \sqrt{29} – \sqrt{6} > \sqrt{28} – \sqrt{6} \).

Kết luận: Bất đẳng thức đã được chứng minh.

Bài b: Chứng minh \( (-3) \times (-8) + 2025 < (-3) \times (-7) + 2025 \)

Tương tự như bài a, để chứng minh một bất đẳng thức dạng \( A < B \), ta sẽ xét hiệu \( A - B \). Nếu hiệu này âm (nhỏ hơn 0), thì bất đẳng thức được chứng minh.

Đặt \( A = (-3) \times (-8) + 2025 \) và \( B = (-3) \times (-7) + 2025 \).

Ta xét hiệu \( A – B \):

\( A – B = ((-3) \times (-8) + 2025) – ((-3) \times (-7) + 2025) \)

Đầu tiên, chúng ta hãy tính giá trị của các phép nhân:

\( (-3) \times (-8) = 24 \) (vì tích hai số âm là một số dương)

\( (-3) \times (-7) = 21 \) (tương tự)

Thay các giá trị này vào biểu thức hiệu \( A – B \):

\( A – B = (24 + 2025) – (21 + 2025) \)

Bây giờ, chúng ta mở ngoặc:

\( A – B = 24 + 2025 – 21 – 2025 \)

Các em có thể thấy rõ các số hạng \( +2025 \) và \( -2025 \) sẽ triệt tiêu nhau.

\( A – B = 24 – 21 \)

\( A – B = 3 \)

Vì \( A – B = 3 \), mà \( 3 > 0 \), điều này có nghĩa là \( A > B \).

Nhận xét: Đề bài yêu cầu chúng ta chứng minh \( A < B \). Tuy nhiên, kết quả xét hiệu cho thấy \( A > B \). Điều này có nghĩa là bất đẳng thức được đưa ra trong đề bài là sai.

Có lẽ đề bài có sự nhầm lẫn và muốn chúng ta chứng minh \( (-3) \times (-8) + 2025 > (-3) \times (-7) + 2025 \). Nếu là như vậy, bất đẳng thức sẽ đúng. Nhưng theo đúng yêu cầu “Chứng minh” bất đẳng thức với dấu “bé hơn”, ta thấy nó là sai.

Kết luận: Bất đẳng thức đã cho \( (-3) \times (-8) + 2025 < (-3) \times (-7) + 2025 \) là một mệnh đề sai.

Hy vọng phần giải thích chi tiết này sẽ giúp các em nắm vững phương pháp xét hiệu trong việc chứng minh bất đẳng thức nhé! Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại hỏi thầy (cô) nhé!