Bài tập: Tìm \(x\), \(y\) biết:

\(4^x / 2^(x+y) = 8\)

\(9^(x+y) / 3^(5y) = 243\)

với \(x, y\) là các số tự nhiên.

—

Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng các tính chất của lũy thừa và biến đổi các số trong phương trình về cùng cơ số.

Bước 1: Biến đổi phương trình thứ nhất.

Ta có phương trình: \(4^x / 2^(x+y) = 8\)

Chúng ta biết rằng:

• \(4 = 2^2\)
• \(8 = 2^3\)

Thay thế các giá trị này vào phương trình:

\( (2^2)^x / 2^(x+y) = 2^3 \)

Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa \( (a^m)^n = a^(m*n) \):

\( 2^(2x) / 2^(x+y) = 2^3 \)

Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số \( a^m / a^n = a^(m-n) \):

\( 2^(2x – (x+y)) = 2^3 \)

\( 2^(2x – x – y) = 2^3 \)

\( 2^(x-y) = 2^3 \)

Vì hai lũy thừa có cùng cơ số và bằng nhau, nên số mũ của chúng cũng phải bằng nhau.

Suy ra: \( x – y = 3 \) (1)

Bước 2: Biến đổi phương trình thứ hai.

Ta có phương trình: \(9^(x+y) / 3^(5y) = 243\)

Chúng ta biết rằng:

• \(9 = 3^2\)
• \(243 = 3^5\)

Thay thế các giá trị này vào phương trình:

\( (3^2)^(x+y) / 3^(5y) = 3^5 \)

Áp dụng quy tắc lũy thừa của lũy thừa \( (a^m)^n = a^(m*n) \):

\( 3^(2*(x+y)) / 3^(5y) = 3^5 \)

\( 3^(2x + 2y) / 3^(5y) = 3^5 \)

Áp dụng quy tắc chia hai lũy thừa cùng cơ số \( a^m / a^n = a^(m-n) \):

\( 3^((2x + 2y) – 5y) = 3^5 \)

\( 3^(2x + 2y – 5y) = 3^5 \)

\( 3^(2x – 3y) = 3^5 \)

Vì hai lũy thừa có cùng cơ số và bằng nhau, nên số mũ của chúng cũng phải bằng nhau.

Suy ra: \( 2x – 3y = 5 \) (2)

Bước 3: Giải hệ phương trình.

Chúng ta có hệ hai phương trình với hai ẩn \(x\) và \(y\):

(1) \( x – y = 3 \)

(2) \( 2x – 3y = 5 \)

Từ phương trình (1), ta có thể biểu diễn \(x\) theo \(y\):

\( x = y + 3 \)

Bây giờ, chúng ta sẽ thay biểu thức của \(x\) này vào phương trình (2):

\( 2*(y + 3) – 3y = 5 \)

Nhân phân phối:

\( 2y + 6 – 3y = 5 \)

Gom các số hạng chứa \(y\):

\( (2y – 3y) + 6 = 5 \)

\( -y + 6 = 5 \)

Chuyển 6 sang vế phải:

\( -y = 5 – 6 \)

\( -y = -1 \)

Nhân cả hai vế với -1:

\( y = 1 \)

Bây giờ, chúng ta đã tìm được giá trị của \(y\). Tiếp theo, thay giá trị của \(y\) vào biểu thức của \(x\):

\( x = y + 3 \)

\( x = 1 + 3 \)

\( x = 4 \)

Bước 4: Kiểm tra lại điều kiện \(x, y \in N\).

Chúng ta tìm được \(x = 4\) và \(y = 1\). Cả hai giá trị này đều là số tự nhiên, nên điều kiện đề bài được thỏa mãn.

Kết luận:

Vậy, giá trị của \(x\) là 4 và giá trị của \(y\) là 1.

Chúng ta có thể kiểm tra lại bằng cách thay \(x=4\) và \(y=1\) vào hai phương trình ban đầu.

Phương trình 1: \(4^4 / 2^(4+1) = 256 / 2^5 = 256 / 32 = 8\) (Đúng)

Phương trình 2: \(9^(4+1) / 3^(5*1) = 9^5 / 3^5 = (3^2)^5 / 3^5 = 3^10 / 3^5 = 3^5 = 243\) (Đúng)

Bài học hôm nay kết thúc tại đây. Các em về nhà ôn tập thêm các tính chất của lũy thừa nhé!