Trước hết, các em hãy cùng đọc lại đề bài:

Một ca nô di chuyển trên một đoạn sông giữa hai bến A, B cách nhau 60 km. Trên đoạn xuôi dòng từ bến A đến bến B, ca nô chạy ở nấc 1 với vận tốc bình thường trong 24 km đầu. Trên đoạn sông còn lại, ca nô tăng tốc lên nấc 2, vận tốc tăng thêm một lượng không đổi. Tổng thời gian ca nô xuôi dòng từ bến A đến bến B là 1 giờ 48 phút. Trên đoạn ngược dòng từ bến B về bến A, trong 36 km đầu, ca nô chạy ở nấc 2. Trên đoạn còn lại ca nô giảm vận tốc xuống nấc 1. Thời gian ca nô ngược dòng về bến A hết 2 giờ 12 phút. Tính vận tốc của từng nấc biết dòng nước có vận tốc không đổi 3 km/giờ.

Chúng ta sẽ cùng nhau phân tích và giải bài toán này nhé.

Bài giải:

Bước 1: Đặt các đại lượng cần tìm và đổi đơn vị thời gian.

Gọi vận tốc của ca nô trong nước lặng ở nấc 1 là \(v_1\) (km/giờ).
Gọi vận tốc của ca nô trong nước lặng ở nấc 2 là \(v_2\) (km/giờ).

Theo đề bài, ca nô tăng tốc lên nấc 2, tức là vận tốc ở nấc 2 phải lớn hơn vận tốc ở nấc 1. Do đó, ta có điều kiện: \(v_2 > v_1\).

Vận tốc dòng nước là \(v_n = 3\) km/giờ.

Vì vận tốc của ca nô phải lớn hơn vận tốc dòng nước để có thể đi ngược dòng, nên ta có điều kiện: \(v_1 > 3\) km/giờ và \(v_2 > 3\) km/giờ.

Đổi đơn vị thời gian:

• Tổng thời gian xuôi dòng: 1 giờ 48 phút \( = 1 + \frac{48}{60}\) giờ \( = 1 + \frac{4}{5}\) giờ \( = \frac{9}{5}\) giờ.
• Tổng thời gian ngược dòng: 2 giờ 12 phút \( = 2 + \frac{12}{60}\) giờ \( = 2 + \frac{1}{5}\) giờ \( = \frac{11}{5}\) giờ.

Bước 2: Xác định vận tốc ca nô khi xuôi dòng và ngược dòng theo từng nấc.

• Khi xuôi dòng:
• Vận tốc ở nấc 1: \(V_{1xuoi} = v_1 + v_n = v_1 + 3\) (km/giờ).
• Vận tốc ở nấc 2: \(V_{2xuoi} = v_2 + v_n = v_2 + 3\) (km/giờ).
• Khi ngược dòng:
• Vận tốc ở nấc 1: \(V_{1nguoc} = v_1 – v_n = v_1 – 3\) (km/giờ).
• Vận tốc ở nấc 2: \(V_{2nguoc} = v_2 – v_n = v_2 – 3\) (km/giờ).

Bước 3: Lập phương trình dựa trên thông tin xuôi dòng.

Quãng đường AB dài 60 km.

Khi ca nô xuôi dòng từ A đến B:

• 24 km đầu tiên, ca nô chạy ở nấc 1.
• Quãng đường còn lại là \(60 – 24 = 36\) km, ca nô chạy ở nấc 2.

Tổng thời gian xuôi dòng là \(\frac{9}{5}\) giờ. Do đó, ta có phương trình (1):

\( \frac{24}{v_1 + 3} + \frac{36}{v_2 + 3} = \frac{9}{5} \) (1)

Bước 4: Lập phương trình dựa trên thông tin ngược dòng.

Khi ca nô ngược dòng từ B về A:

• 36 km đầu tiên, ca nô chạy ở nấc 2.
• Quãng đường còn lại là \(60 – 36 = 24\) km, ca nô chạy ở nấc 1.

Tổng thời gian ngược dòng là \(\frac{11}{5}\) giờ. Do đó, ta có phương trình (2):

\( \frac{36}{v_2 – 3} + \frac{24}{v_1 – 3} = \frac{11}{5} \) (2)

Bước 5: Giải hệ phương trình.

Chúng ta có hệ hai phương trình với hai ẩn \(v_1\) và \(v_2\):

1. \( \frac{24}{v_1 + 3} + \frac{36}{v_2 + 3} = \frac{9}{5} \)
2. \( \frac{24}{v_1 – 3} + \frac{36}{v_2 – 3} = \frac{11}{5} \)

Để dễ giải, ta đặt các biến phụ:

Đặt \(X = v_1 + 3\) và \(Y = v_2 + 3\).

Khi đó, \(v_1 = X – 3\) và \(v_2 = Y – 3\).

Thay vào các biểu thức \(v_1 – 3\) và \(v_2 – 3\):

\(v_1 – 3 = (X – 3) – 3 = X – 6\)
\(v_2 – 3 = (Y – 3) – 3 = Y – 6\)

Hệ phương trình trở thành:

I. \( \frac{24}{X} + \frac{36}{Y} = \frac{9}{5} \)
II. \( \frac{24}{X – 6} + \frac{36}{Y – 6} = \frac{11}{5} \)

Từ phương trình (I), nhân cả hai vế với \(5XY\) để khử mẫu:

\( 5 \times 24Y + 5 \times 36X = 9XY \)
\( 120Y + 180X = 9XY \)
Chia cả hai vế cho 3: \( 40Y + 60X = 3XY \) (A)

Từ phương trình (II), nhân cả hai vế với \(5(X-6)(Y-6)\) để khử mẫu:

\( 5 \times 24(Y-6) + 5 \times 36(X-6) = 11(X-6)(Y-6) \)
\( 120(Y-6) + 180(X-6) = 11(XY – 6X – 6Y + 36) \)
\( 120Y – 720 + 180X – 1080 = 11XY – 66X – 66Y + 396 \)
\( 180X + 120Y – 1800 = 11XY – 66X – 66Y + 396 \)
Chuyển các số hạng chứa \(X, Y\) về một vế và các số hạng tự do về vế kia:

\( 180X + 66X + 120Y + 66Y – 1800 – 396 = 11XY \)
\( 246X + 186Y – 2196 = 11XY \) (B)

Bây giờ chúng ta có hệ phương trình với (A) và (B):

A. \( 40Y + 60X = 3XY \)
B. \( 246X + 186Y – 2196 = 11XY \)

Từ phương trình (A), ta có \(3XY = 40Y + 60X\), suy ra \(XY = \frac{40Y + 60X}{3}\).
Thay \(XY\) vào phương trình (B):

\( 246X + 186Y – 2196 = 11 \left(\frac{40Y + 60X}{3}\right) \)

Nhân cả hai vế với 3 để khử mẫu:

\( 3(246X + 186Y – 2196) = 11(40Y + 60X) \)
\( 738X + 558Y – 6588 = 440Y + 660X \)
Chuyển các số hạng về một vế:

\( 738X – 660X + 558Y – 440Y – 6588 = 0 \)
\( 78X + 118Y – 6588 = 0 \)
Chia cả hai vế cho 2:

\( 39X + 59Y – 3294 = 0 \)
Từ đây, ta có thể biểu diễn \(Y\) theo \(X\):

\( 59Y = 3294 – 39X \)
\( Y = \frac{3294 – 39X}{59} \)

Thay biểu thức của \(Y\) vào phương trình (A):

\( 40 \left(\frac{3294 – 39X}{59}\right) + 60X = 3X \left(\frac{3294 – 39X}{59}\right) \)

Nhân cả hai vế với 59 để khử mẫu:

\( 40(3294 – 39X) + 60X \times 59 = 3X(3294 – 39X) \)
\( 131760 – 1560X + 3540X = 9882X – 117X^2 \)
\( 131760 + 1980X = 9882X – 117X^2 \)

Chuyển tất cả các số hạng về một vế để tạo thành phương trình bậc hai:

\( 117X^2 + 1980X – 9882X + 131760 = 0 \)
\( 117X^2 – 7902X + 131760 = 0 \)

Chia cả phương trình cho 3 để đơn giản hóa:

\( 39X^2 – 2634X + 43920 = 0 \)

Giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm \( X = \frac{-B \pm \sqrt{B^2 – 4AC}}{2A} \):

Với \(A = 39\), \(B = -2634\), \(C = 43920\).

\( \Delta = B^2 – 4AC = (-2634)^2 – 4(39)(43920) \)
\( \Delta = 6937956 – 6851520 = 86436 \)
\( \sqrt{\Delta} = \sqrt{86436} = 294 \)

Tìm các giá trị của \(X\):

\( X_1 = \frac{2634 + 294}{2 \times 39} = \frac{2928}{78} = \frac{488}{13} \approx 37.54 \)

\( X_2 = \frac{2634 – 294}{2 \times 39} = \frac{2340}{78} = 30 \)

Bước 6: Kiểm tra điều kiện và tìm \(v_1, v_2\).

Nhớ lại rằng \(X = v_1 + 3\) và \(Y = v_2 + 3\), và chúng ta có điều kiện \(v_2 > v_1\), tức là \(Y > X\).

Trường hợp 1: Nếu \(X = \frac{488}{13}\)

Thay \(X = \frac{488}{13}\) vào biểu thức của \(Y\):

\( Y = \frac{3294 – 39(\frac{488}{13})}{59} = \frac{3294 – 3 \times 488}{59} = \frac{3294 – 1464}{59} = \frac{1830}{59} \approx 30.07 \)

Trong trường hợp này, \(X \approx 37.54\) và \(Y \approx 30.07\). Ta thấy \(Y < X\), điều này mâu thuẫn với điều kiện \(v_2 > v_1\) (hay \(Y > X\)). Do đó, giá trị \(X = \frac{488}{13}\) bị loại bỏ.

Trường hợp 2: Nếu \(X = 30\)

Thay \(X = 30\) vào biểu thức của \(Y\):

\( Y = \frac{3294 – 39(30)}{59} = \frac{3294 – 1170}{59} = \frac{2124}{59} = 36 \)

Trong trường hợp này, \(X = 30\) và \(Y = 36\). Ta thấy \(Y > X\) (36 > 30), điều này thỏa mãn điều kiện \(v_2 > v_1\).

Bây giờ, chúng ta tìm \(v_1\) và \(v_2\):

\( X = v_1 + 3 \Rightarrow 30 = v_1 + 3 \Rightarrow v_1 = 30 – 3 = 27 \) (km/giờ).

\( Y = v_2 + 3 \Rightarrow 36 = v_2 + 3 \Rightarrow v_2 = 36 – 3 = 33 \) (km/giờ).

Kiểm tra các điều kiện ban đầu: \(v_1 > 3\) (27 > 3) và \(v_2 > 3\) (33 > 3) đều thỏa mãn.

Kiểm tra điều kiện “vận tốc tăng thêm một lượng không đổi”: \(v_2 – v_1 = 33 – 27 = 6\) (km/giờ), đây là một lượng không đổi.

Bước 7: Thử lại kết quả (kiểm tra lại vào phương trình ban đầu).

Với \(v_1 = 27\) km/giờ và \(v_2 = 33\) km/giờ.

• Phương trình xuôi dòng: \( \frac{24}{27 + 3} + \frac{36}{33 + 3} = \frac{24}{30} + \frac{36}{36} = \frac{4}{5} + 1 = \frac{9}{5} \). (Chính xác)
• Phương trình ngược dòng: \( \frac{24}{27 – 3} + \frac{36}{33 – 3} = \frac{24}{24} + \frac{36}{30} = 1 + \frac{6}{5} = \frac{11}{5} \). (Chính xác)

Vậy, các giá trị tìm được là chính xác.

Kết luận:

Vận tốc của ca nô trong nước lặng ở nấc 1 là 27 km/giờ.
Vận tốc của ca nô trong nước lặng ở nấc 2 là 33 km/giờ.

Thầy hy vọng các em đã hiểu rõ cách giải bài toán này. Hãy luyện tập thêm các bài toán tương tự để nắm vững kiến thức nhé!