Chào các em học sinh thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán chuyển động rất thú vị. Đây là dạng toán thường gặp trong các kỳ thi, vì vậy các em hãy chú ý theo dõi và hiểu rõ từng bước giải nhé!

Đề bài: Hai ô tô khởi hành từ hai địa điểm A và B cách nhau 210 km đi ngược chiều nhau. Xe thứ nhất khởi hành từ A sau đó 30 phút xe thứ 2 khởi hành từ B. Hai xe gặp nhau sau khi xe thứ 2 đi được 2 giờ. Tính vận tốc mỗi xe biết vận tốc xe thứ nhất lớn hơn xe thứ hai là 5km/h.

Chúng ta hãy cùng phân tích đề bài và lập kế hoạch giải quyết bài toán này nhé!

Phân tích bài toán:

• Đây là bài toán về chuyển động ngược chiều. Khi hai xe gặp nhau, tổng quãng đường mà cả hai xe đã đi chính bằng khoảng cách ban đầu giữa hai địa điểm.
• Khoảng cách giữa A và B là 210 km.
• Xe thứ nhất (từ A) khởi hành trước xe thứ hai (từ B) 30 phút.
• Thời gian xe thứ hai đã đi cho đến khi gặp nhau là 2 giờ.
• Vận tốc của xe thứ nhất lớn hơn vận tốc của xe thứ hai là 5 km/h.

Bước 1: Đổi đơn vị thời gian

Trong bài toán này, thời gian được cho dưới hai đơn vị khác nhau là phút và giờ. Để dễ dàng tính toán, chúng ta cần đổi 30 phút sang đơn vị giờ.

30 phút = \( \frac{30}{60} \) giờ = \( 0.5 \) giờ.

Bước 2: Gọi các ẩn và thiết lập mối quan hệ giữa các vận tốc

Chúng ta cần tìm vận tốc của mỗi xe, nên chúng ta sẽ gọi chúng là các ẩn số:

• Gọi vận tốc của xe thứ nhất là \( v_1 \) (km/h). Điều kiện: \( v_1 > 0 \).
• Gọi vận tốc của xe thứ hai là \( v_2 \) (km/h). Điều kiện: \( v_2 > 0 \).

Theo đề bài, “vận tốc xe thứ nhất lớn hơn xe thứ hai là 5km/h”, chúng ta có phương trình đầu tiên:

\( v_1 = v_2 + 5 \) (1)

Bước 3: Tính thời gian và quãng đường mỗi xe đã đi cho đến khi gặp nhau

Chúng ta biết rằng hai xe gặp nhau sau khi xe thứ hai đi được 2 giờ.

• Đối với xe thứ hai:
  
  Thời gian xe thứ hai đã đi là: \( t_2 = 2 \) giờ.
  
  Quãng đường xe thứ hai đã đi là: \( s_2 = v_2 \times t_2 = v_2 \times 2 = 2v_2 \) (km).
• Đối với xe thứ nhất:
  
  Xe thứ nhất khởi hành trước xe thứ hai 30 phút (0.5 giờ). Vì vậy, khi xe thứ hai đi được 2 giờ, xe thứ nhất đã đi được một khoảng thời gian dài hơn.
  
  Thời gian xe thứ nhất đã đi là: \( t_1 = t_2 + 0.5 = 2 + 0.5 = 2.5 \) giờ.
  
  Quãng đường xe thứ nhất đã đi là: \( s_1 = v_1 \times t_1 = v_1 \times 2.5 = 2.5v_1 \) (km).

Bước 4: Lập phương trình dựa trên tổng quãng đường

Vì hai xe đi ngược chiều và gặp nhau, tổng quãng đường mà cả hai xe đã đi chính bằng khoảng cách ban đầu giữa hai địa điểm A và B, là 210 km.

\( s_1 + s_2 = 210 \)

Thay các biểu thức của \( s_1 \) và \( s_2 \) mà chúng ta vừa tìm được vào phương trình này:

\( 2.5v_1 + 2v_2 = 210 \) (2)

Bước 5: Giải hệ phương trình

Chúng ta có một hệ gồm hai phương trình với hai ẩn số:

\( \left\{ \begin{array}{l} v_1 = v_2 + 5 \quad (1) \\ 2.5v_1 + 2v_2 = 210 \quad (2) \end{array} \right. \)

Để giải hệ phương trình này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thế. Thay biểu thức của \( v_1 \) từ phương trình (1) vào phương trình (2):

\( 2.5(v_2 + 5) + 2v_2 = 210 \)

Thực hiện phép nhân phân phối:

\( 2.5v_2 + 2.5 \times 5 + 2v_2 = 210 \)

\( 2.5v_2 + 12.5 + 2v_2 = 210 \)

Gộp các hạng tử chứa \( v_2 \) lại với nhau:

\( (2.5 + 2)v_2 + 12.5 = 210 \)

\( 4.5v_2 + 12.5 = 210 \)

Chuyển hằng số \( 12.5 \) sang vế phải của phương trình:

\( 4.5v_2 = 210 – 12.5 \)

\( 4.5v_2 = 197.5 \)

Để tìm \( v_2 \), chúng ta chia cả hai vế cho \( 4.5 \):

\( v_2 = \frac{197.5}{4.5} \)

Để thuận tiện cho việc tính toán và biểu diễn dưới dạng phân số tối giản, ta nhân cả tử và mẫu với 10:

\( v_2 = \frac{1975}{45} \)

Rút gọn phân số này bằng cách chia cả tử và mẫu cho 5:

\( v_2 = \frac{1975 \div 5}{45 \div 5} = \frac{395}{9} \) (km/h)

Bây giờ, chúng ta sẽ tìm vận tốc của xe thứ nhất \( v_1 \) bằng cách thay giá trị của \( v_2 \) vào phương trình (1):

\( v_1 = v_2 + 5 \)

\( v_1 = \frac{395}{9} + 5 \)

Để cộng phân số và số nguyên, chúng ta quy đồng mẫu số:

\( v_1 = \frac{395}{9} + \frac{5 \times 9}{9} \)

\( v_1 = \frac{395}{9} + \frac{45}{9} \)

\( v_1 = \frac{395 + 45}{9} = \frac{440}{9} \) (km/h)

Bước 6: Kiểm tra lại kết quả (quan trọng để đảm bảo tính chính xác)

• Kiểm tra điều kiện vận tốc xe thứ nhất lớn hơn xe thứ hai 5 km/h:
  
  \( \frac{440}{9} – \frac{395}{9} = \frac{45}{9} = 5 \) km/h. (Đúng)
• Kiểm tra tổng quãng đường:
  
  Quãng đường xe 1 đi: \( s_1 = 2.5 \times \frac{440}{9} = \frac{5}{2} \times \frac{440}{9} = \frac{2200}{18} = \frac{1100}{9} \) km.
  
  Quãng đường xe 2 đi: \( s_2 = 2 \times \frac{395}{9} = \frac{790}{9} \) km.
  
  Tổng quãng đường: \( s_1 + s_2 = \frac{1100}{9} + \frac{790}{9} = \frac{1890}{9} = 210 \) km. (Đúng)

Bước 7: Kết luận

Vậy, vận tốc của xe thứ nhất là \( \frac{440}{9} \) km/h và vận tốc của xe thứ hai là \( \frac{395}{9} \) km/h.

Các em nhớ rằng, dù kết quả là số thập phân hay phân số, chúng ta vẫn phải tự tin vào các bước giải của mình nếu đã kiểm tra cẩn thận nhé! Chúc các em luôn học tốt môn Toán!