Chúng ta có bài toán: Tìm x, biết:

1 + 3² + 3⁴ + … + 3^2x = (3²⁰²⁶ – 1)/8

Đầu tiên, chúng ta hãy quan sát vế trái của phương trình.

Vế trái là một tổng có dạng: \(1 + 3^2 + 3^4 + … + 3^{2x}\).

Các em có nhận ra đây là dạng của một cấp số nhân không?

Để dễ nhìn hơn, chúng ta có thể viết lại các số hạng như sau:
\(3^0 + 3^2 + 3^4 + … + 3^{2x}\)

Đây là một cấp số nhân với:

• Số hạng đầu tiên là \(a = 3^0 = 1\).
• Công bội là \(q = 3^2 = 9\).
• Số các số hạng là \(n\).

Làm thế nào để xác định số các số hạng \(n\)?
Các số mũ của 3 là: 0, 2, 4, …, 2x.
Đây là một dãy số cách đều, với số hạng cuối là 2x, số hạng đầu là 0 và công sai là 2.
Số các số hạng \(n\) sẽ được tính bằng công thức: \(n = \frac{\text{số hạng cuối} – \text{số hạng đầu}}{\text{công sai}} + 1\).
Vậy, \(n = \frac{2x – 0}{2} + 1 = x + 1\).

Bây giờ, chúng ta sẽ sử dụng công thức tính tổng của cấp số nhân:

\(S_n = a \frac{q^n – 1}{q – 1}\)

Thay các giá trị đã xác định vào công thức:

Vế trái = \(1 \times \frac{(3^2)^{x+1} – 1}{3^2 – 1}\)

Vế trái = \(\frac{3^{2(x+1)} – 1}{9 – 1}\)

Vế trái = \(\frac{3^{2x+2} – 1}{8}\)

Bây giờ, chúng ta sẽ cho vế trái bằng vế phải của phương trình ban đầu:

\(\frac{3^{2x+2} – 1}{8} = \frac{3^{2026} – 1}{8}\)

Vì hai phân số này có cùng mẫu số là 8, nên chúng ta có thể cho tử số bằng nhau:

\(3^{2x+2} – 1 = 3^{2026} – 1\)

Cộng 1 vào cả hai vế:

\(3^{2x+2} = 3^{2026}\)

Khi hai lũy thừa có cùng cơ số và bằng nhau, thì số mũ của chúng cũng phải bằng nhau.

\(2x + 2 = 2026\)

Bây giờ, chúng ta giải phương trình bậc nhất này để tìm x.
Trừ 2 vào cả hai vế:

\(2x = 2026 – 2\)

\(2x = 2024\)

Chia cả hai vế cho 2:

\(x = \frac{2024}{2}\)

\(x = 1012\)

Vậy, giá trị của x cần tìm là 1012.

Các em có câu hỏi nào không? Nếu không có, chúng ta sẽ chuyển sang bài tập tiếp theo. Rất tốt!