Chào các em học sinh yêu quý!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải một bài toán thú vị về giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối. Đây là một dạng bài rất quan trọng trong chương trình Toán lớp 7 của chúng ta đấy!

Đề bài: Tìm giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức sau: \(A = |x – 1| + |x – 3|\)

Hướng dẫn giải:

Đối với các bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất) của biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối, cách làm phổ biến và hiệu quả nhất là chúng ta sẽ xét các trường hợp của \(x\) để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Để xác định các trường hợp, chúng ta cần tìm các giá trị của \(x\) làm cho các biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối bằng 0.

• \(x – 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)
• \(x – 3 = 0 \Rightarrow x = 3\)

Các giá trị \(x = 1\) và \(x = 3\) chia trục số thành 3 khoảng. Chúng ta sẽ xét từng khoảng một:

1. Trường hợp 1: \(x < 1\)

   Khi \(x < 1\):

   • Biểu thức \(x – 1\) mang giá trị âm. Do đó, \(|x – 1| = -(x – 1) = 1 – x\).
   • Biểu thức \(x – 3\) mang giá trị âm. Do đó, \(|x – 3| = -(x – 3) = 3 – x\).

   Thay vào biểu thức \(A\), ta được:

   \(A = (1 – x) + (3 – x)\)

   \(A = 1 – x + 3 – x\)

   \(A = 4 – 2x\)

   Vì \(x < 1\), suy ra \(2x < 2\).

   Khi đó, \(-2x > -2\).

   Vậy \(A = 4 – 2x > 4 – 2 = 2\).

   Trong trường hợp này, \(A\) luôn lớn hơn 2.

2. Trường hợp 2: \(1 \le x \le 3\)

   Khi \(1 \le x \le 3\):

   • Biểu thức \(x – 1\) mang giá trị không âm. Do đó, \(|x – 1| = x – 1\).
   • Biểu thức \(x – 3\) mang giá trị không dương. Do đó, \(|x – 3| = -(x – 3) = 3 – x\).

   Thay vào biểu thức \(A\), ta được:

   \(A = (x – 1) + (3 – x)\)

   \(A = x – 1 + 3 – x\)

   \(A = 2\)

   Trong trường hợp này, \(A\) luôn bằng 2. Đây là một giá trị cố định.

3. Trường hợp 3: \(x > 3\)

   Khi \(x > 3\):

   • Biểu thức \(x – 1\) mang giá trị dương. Do đó, \(|x – 1| = x – 1\).
   • Biểu thức \(x – 3\) mang giá trị dương. Do đó, \(|x – 3| = x – 3\).

   Thay vào biểu thức \(A\), ta được:

   \(A = (x – 1) + (x – 3)\)

   \(A = x – 1 + x – 3\)

   \(A = 2x – 4\)

   Vì \(x > 3\), suy ra \(2x > 6\).

   Khi đó, \(A = 2x – 4 > 6 – 4 = 2\).

   Trong trường hợp này, \(A\) luôn lớn hơn 2.

Kết luận:

Qua việc xét 3 trường hợp trên, chúng ta nhận thấy:

• Nếu \(x < 1\), thì \(A > 2\).
• Nếu \(1 \le x \le 3\), thì \(A = 2\).
• Nếu \(x > 3\), thì \(A > 2\).

So sánh các giá trị mà \(A\) có thể đạt được, ta thấy giá trị nhỏ nhất của \(A\) là 2.

Giá trị này đạt được khi và chỉ khi \(1 \le x \le 3\).

Mở rộng (dành cho các bạn muốn tìm hiểu thêm một cách giải khác):

Chúng ta có thể sử dụng bất đẳng thức giá trị tuyệt đối: \(|a| + |b| \ge |a + b|\). Dấu “=” xảy ra khi \(ab \ge 0\) (tức là \(a\) và \(b\) cùng dấu hoặc một trong hai bằng 0).

Xét biểu thức \(A = |x – 1| + |x – 3|\).

Ta có thể viết lại \(|x – 3|\) thành \(|-(3 – x)| = |3 – x|\).

Vậy, \(A = |x – 1| + |3 – x|\).

Áp dụng bất đẳng thức với \(a = x – 1\) và \(b = 3 – x\):

\(A = |x – 1| + |3 – x| \ge |(x – 1) + (3 – x)|\)

\(A \ge |x – 1 + 3 – x|\)

\(A \ge |2|\)

\(A \ge 2\)

Vậy, giá trị nhỏ nhất của \(A\) là 2.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \((x – 1)(3 – x) \ge 0\).

Điều này có nghĩa là \(x – 1\) và \(3 – x\) phải cùng dấu (cùng không âm hoặc cùng không dương).

• Nếu \(x – 1 \ge 0\) và \(3 – x \ge 0\):
  \(x \ge 1\) và \(x \le 3\). Kết hợp lại, ta được \(1 \le x \le 3\).
• Nếu \(x – 1 \le 0\) và \(3 – x \le 0\):
  \(x \le 1\) và \(x \ge 3\). Trường hợp này không có giá trị \(x\) nào thỏa mãn (không thể vừa nhỏ hơn hoặc bằng 1, vừa lớn hơn hoặc bằng 3).

Do đó, giá trị nhỏ nhất của \(A\) là 2, đạt được khi \(1 \le x \le 3\).

Cả hai cách đều cho cùng một kết quả, các em có thể lựa chọn cách mà mình thấy dễ hiểu và dễ trình bày nhất nhé!

Chúc các em học tốt!