Chào các em học sinh lớp 7 thân mến! Cô rất vui được giúp các em giải những bài tập thú vị về giá trị tuyệt đối này. Đây là một dạng toán rất quan trọng, đòi hỏi chúng ta phải hiểu rõ định nghĩa và cách xét các trường hợp. Các em hãy chú ý theo dõi từng bước giải của cô nhé!

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) \(|5x-3|-x=7\)

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Chuyển vế để cô lập biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối.

\(|5x-3| = x+7\)

Bước 2: Nắm vững định nghĩa giá trị tuyệt đối. \(|A| = B\) thì \(B\) phải lớn hơn hoặc bằng 0 (\(B \ge 0\)), và ta có hai trường hợp: \(A = B\) hoặc \(A = -B\).

Ở đây, \(B = x+7\), nên điều kiện là \(x+7 \ge 0 \implies x \ge -7\). (Nếu không thỏa mãn điều kiện này thì phương trình vô nghiệm).

Bước 3: Xét các trường hợp:

Trường hợp 1: \(5x-3 \ge 0 \implies 5x \ge 3 \implies x \ge \frac{3}{5}\).

Khi đó, \(|5x-3| = 5x-3\).

Phương trình trở thành: \(5x-3 = x+7\)

\(5x-x = 7+3\)

\(4x = 10\)

\(x = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\)

Kiểm tra điều kiện: \(x = \frac{5}{2} = 2.5\). Điều kiện là \(x \ge \frac{3}{5} = 0.6\) và \(x \ge -7\). Cả hai điều kiện đều thỏa mãn. Vậy \(x = \frac{5}{2}\) là một nghiệm.

Trường hợp 2: \(5x-3 < 0 \implies 5x < 3 \implies x < \frac{3}{5}\).

Khi đó, \(|5x-3| = -(5x-3) = -5x+3\).

Phương trình trở thành: \(-5x+3 = x+7\)

\(-5x-x = 7-3\)

\(-6x = 4\)

\(x = \frac{4}{-6} = -\frac{2}{3}\)

Kiểm tra điều kiện: \(x = -\frac{2}{3} \approx -0.67\). Điều kiện là \(x < \frac{3}{5} = 0.6\) và \(x \ge -7\). Cả hai điều kiện đều thỏa mãn. Vậy \(x = -\frac{2}{3}\) là một nghiệm.

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ \frac{5}{2}; -\frac{2}{3} \right\}\).

b) \(|3x-2|=x+7\)

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Phương trình đã ở dạng \(|A|=B\). Điều kiện để phương trình có nghiệm là \(x+7 \ge 0 \implies x \ge -7\).

Bước 2: Xét các trường hợp:

Trường hợp 1: \(3x-2 \ge 0 \implies 3x \ge 2 \implies x \ge \frac{2}{3}\).

Khi đó, \(|3x-2| = 3x-2\).

Phương trình trở thành: \(3x-2 = x+7\)

\(3x-x = 7+2\)

\(2x = 9\)

\(x = \frac{9}{2}\)

Kiểm tra điều kiện: \(x = \frac{9}{2} = 4.5\). Điều kiện là \(x \ge \frac{2}{3}\) và \(x \ge -7\). Cả hai điều kiện đều thỏa mãn. Vậy \(x = \frac{9}{2}\) là một nghiệm.

Trường hợp 2: \(3x-2 < 0 \implies 3x < 2 \implies x < \frac{2}{3}\).

Khi đó, \(|3x-2| = -(3x-2) = -3x+2\).

Phương trình trở thành: \(-3x+2 = x+7\)

\(-3x-x = 7-2\)

\(-4x = 5\)

\(x = -\frac{5}{4}\)

Kiểm tra điều kiện: \(x = -\frac{5}{4} = -1.25\). Điều kiện là \(x < \frac{2}{3}\) và \(x \ge -7\). Cả hai điều kiện đều thỏa mãn. Vậy \(x = -\frac{5}{4}\) là một nghiệm.

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ \frac{9}{2}; -\frac{5}{4} \right\}\).

c) \(|x+1|+|x+2|+|x+3|=4x\)

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Phân tích điều kiện. Tổng các giá trị tuyệt đối luôn không âm, tức là \(|x+1|+|x+2|+|x+3| \ge 0\).
Vì vậy, \(4x\) cũng phải không âm: \(4x \ge 0 \implies x \ge 0\).

Bước 2: Khi \(x \ge 0\), chúng ta hãy xem xét các biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối:

– \(x+1\): Vì \(x \ge 0\), nên \(x+1 \ge 1 > 0\). Vậy \(|x+1| = x+1\).

– \(x+2\): Vì \(x \ge 0\), nên \(x+2 \ge 2 > 0\). Vậy \(|x+2| = x+2\).

– \(x+3\): Vì \(x \ge 0\), nên \(x+3 \ge 3 > 0\). Vậy \(|x+3| = x+3\).

Bước 3: Thay các biểu thức đã bỏ dấu giá trị tuyệt đối vào phương trình ban đầu:

\((x+1) + (x+2) + (x+3) = 4x\)

\(x+1+x+2+x+3 = 4x\)

\(3x+6 = 4x\)

\(6 = 4x-3x\)

\(x = 6\)

Bước 4: Kiểm tra điều kiện. Giá trị \(x=6\) có thỏa mãn điều kiện \(x \ge 0\) không? Có. Vậy \(x=6\) là nghiệm của phương trình.

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ 6 \right\}\).

d) \(|x+1/2|+|x+1/6|+|x+1/12|+|x+1/20|+…+|x+1/110|=11x\)

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Phân tích điều kiện. Tương tự như câu c, tổng các giá trị tuyệt đối luôn không âm, nên \(11x\) cũng phải không âm: \(11x \ge 0 \implies x \ge 0\).

Bước 2: Khi \(x \ge 0\), tất cả các biểu thức bên trong dấu giá trị tuyệt đối đều dương:

– \(x+1/2 \ge 1/2 > 0 \implies |x+1/2| = x+1/2\)

– \(x+1/6 \ge 1/6 > 0 \implies |x+1/6| = x+1/6\)

… và cứ thế cho đến hết.

– \(x+1/110 \ge 1/110 > 0 \implies |x+1/110| = x+1/110\)

Bước 3: Viết lại phương trình sau khi bỏ dấu giá trị tuyệt đối:

\((x+1/2) + (x+1/6) + (x+1/12) + (x+1/20) + … + (x+1/110) = 11x\)

Bước 4: Nhận xét các phân số:

\(1/2 = 1/(1 \cdot 2)\)

\(1/6 = 1/(2 \cdot 3)\)

\(1/12 = 1/(3 \cdot 4)\)

\(1/20 = 1/(4 \cdot 5)\)

…

\(1/110 = 1/(10 \cdot 11)\)

Có tất cả 10 số hạng (từ \(1 \cdot 2\) đến \(10 \cdot 11\)).

Bước 5: Nhóm các số hạng chứa \(x\) và các phân số:

\((\underbrace{x+x+…+x}_{\text{10 số hạng}}) + (1/2+1/6+1/12+1/20+…+1/110) = 11x\)

\(10x + (1/2+1/6+1/12+1/20+…+1/110) = 11x\)

Bước 6: Tính tổng của dãy phân số. Ta sử dụng công thức tách phân số: \(1/(n(n+1)) = 1/n – 1/(n+1)\).

\(1/2 = 1/1 – 1/2\)

\(1/6 = 1/2 – 1/3\)

\(1/12 = 1/3 – 1/4\)

\(1/20 = 1/4 – 1/5\)

…

\(1/110 = 1/10 – 1/11\)

Cộng tất cả các phân số này lại (đây gọi là tổng “telescoping” – tổng rút gọn), ta được:

\((1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + … + (1/10 – 1/11)\)

\(= 1 – 1/11\) (các số hạng ở giữa bị triệt tiêu hết)

\(= 10/11\)

Bước 7: Thay tổng phân số vào phương trình:

\(10x + 10/11 = 11x\)

\(10/11 = 11x – 10x\)

\(x = 10/11\)

Bước 8: Kiểm tra điều kiện. Giá trị \(x = 10/11\) có thỏa mãn điều kiện \(x \ge 0\) không? Có. Vậy \(x = 10/11\) là nghiệm của phương trình.

Kết luận: Tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ \frac{10}{11} \right\}\).

Cô hy vọng bài giải chi tiết này sẽ giúp các em hiểu rõ hơn về cách giải các phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối. Hãy luyện tập thật nhiều để thành thạo dạng toán này nhé!