Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải bài toán hình học này nhé. Đây là một bài tập rất hay, giúp chúng ta ôn lại các kiến thức về tam giác vuông, định lý Pytago, hệ thức lượng trong tam giác vuông và tỉ số lượng giác của góc nhọn.

Chúng ta bắt đầu với đề bài:

Bài 3. Cho tam giác ABC có \(\hat{A}=90^\circ\), \(AB=5\) cm, \(AC=12\) cm.

a) Tính BC, \(\hat{B}\), \(\hat{C}\) (Số đo góc làm tròn đến độ).

b) Vẽ đường cao AH. Tính BH, CH (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

c) Từ H kẻ \(HE \perp AB\), \(HF \perp AC\). Chứng minh AEHF là hình chữ nhật.

d) Tính HE, HF, diện tích AEHF (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Chúng ta sẽ đi giải từng phần một nhé!

Lời giải chi tiết:

a) Tính BC, \(\hat{B}\), \(\hat{C}\).

Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại A (theo giả thiết \(\hat{A}=90^\circ\)), nên chúng ta có thể áp dụng Định lý Pytago để tính độ dài cạnh huyền BC.

Áp dụng Định lý Pytago cho \(\triangle ABC\) vuông tại A, ta có:

\(BC^2 = AB^2 + AC^2\)

\(BC^2 = 5^2 + 12^2\)

\(BC^2 = 25 + 144\)

\(BC^2 = 169\)

\(BC = \sqrt{169}\)

\(BC = 13\) cm.

Tiếp theo, chúng ta sẽ tính số đo các góc nhọn \(\hat{B}\) và \(\hat{C}\) bằng cách sử dụng các tỉ số lượng giác.

Trong \(\triangle ABC\) vuông tại A, ta có:

\(\tan B = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{AC}{AB}\)

\(\tan B = \frac{12}{5} = 2.4\)

Để tìm góc B, ta dùng hàm arctan (hoặc tan^-1):

\(\hat{B} = \arctan(2.4) \approx 67.38^\circ\)

Làm tròn đến độ, ta được \(\hat{B} \approx 67^\circ\).

Vì \(\triangle ABC\) vuông tại A, tổng hai góc nhọn bằng \(90^\circ\), nên:

\(\hat{C} = 90^\circ – \hat{B}\)

\(\hat{C} \approx 90^\circ – 67^\circ\)

\(\hat{C} \approx 23^\circ\).

Hoặc, các em cũng có thể tính \(\hat{C}\) trực tiếp:

\(\tan C = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{AB}{AC}\)

\(\tan C = \frac{5}{12} \approx 0.4167\)

\(\hat{C} = \arctan(0.4167) \approx 22.62^\circ\)

Làm tròn đến độ, ta được \(\hat{C} \approx 23^\circ\).

Vậy:

\(BC = 13\) cm
\(\hat{B} \approx 67^\circ\)
\(\hat{C} \approx 23^\circ\)

b) Vẽ đường cao AH. Tính BH, CH (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Đường cao AH là đoạn thẳng kẻ từ đỉnh A vuông góc với cạnh đối diện BC. (Các em hãy vẽ hình để dễ hình dung nhé!)

Trong \(\triangle ABC\) vuông tại A, AH là đường cao ứng với cạnh huyền BC. Chúng ta có thể sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tính AH, BH, CH.

Đầu tiên, tính độ dài đường cao AH:

Áp dụng hệ thức lượng: \(AB \cdot AC = AH \cdot BC\)

\(AH = \frac{AB \cdot AC}{BC}\)

\(AH = \frac{5 \cdot 12}{13} = \frac{60}{13} \approx 4.615\) cm.

Để tính BH và CH, ta tiếp tục dùng hệ thức lượng:

\(AB^2 = BH \cdot BC\)

\(BH = \frac{AB^2}{BC} = \frac{5^2}{13} = \frac{25}{13} \approx 1.923\) cm.

Làm tròn đến hàng phần mười, ta được \(BH \approx 1.9\) cm.

\(AC^2 = CH \cdot BC\)

\(CH = \frac{AC^2}{BC} = \frac{12^2}{13} = \frac{144}{13} \approx 11.076\) cm.

Làm tròn đến hàng phần mười, ta được \(CH \approx 11.1\) cm.

Kiểm tra lại: \(BH + CH \approx 1.9 + 11.1 = 13.0\) cm. Kết quả này khớp với độ dài BC = 13 cm, vậy các tính toán của chúng ta là chính xác.

Vậy:
\(BH \approx 1.9\) cm
\(CH \approx 11.1\) cm

(Lưu ý: Để các phép tính sau chính xác hơn, chúng ta nên giữ nguyên các giá trị phân số của AH, BH, CH cho đến bước cuối cùng.)

\(AH = \frac{60}{13}\) cm
\(BH = \frac{25}{13}\) cm
\(CH = \frac{144}{13}\) cm

c) Từ H kẻ \(HE \perp AB\), \(HF \perp AC\). Chứng minh AEHF là hình chữ nhật.

Theo giả thiết, ta có:

• \(HE \perp AB\) tại E \(\Rightarrow \hat{AEH} = 90^\circ\).
• \(HF \perp AC\) tại F \(\Rightarrow \hat{AFH} = 90^\circ\).
• \(\hat{BAC} = 90^\circ\) (vì \(\triangle ABC\) vuông tại A).

Xét tứ giác AEHF, ta có ba góc vuông:

\(\hat{A} = 90^\circ\)

\(\hat{AEH} = 90^\circ\)

\(\hat{AFH} = 90^\circ\)

Một tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật. Do đó, AEHF là hình chữ nhật.

d) Tính HE, HF, diện tích AEHF (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

Vì AEHF là hình chữ nhật (chứng minh ở phần c)), ta có \(HE = AF\) và \(HF = AE\).

Chúng ta sẽ tính HE và HF bằng cách sử dụng các tỉ số lượng giác trong các tam giác vuông nhỏ hơn.

Xét \(\triangle AHB\) vuông tại H. AH là đường cao của \(\triangle ABC\).

Trong \(\triangle AHB\), \(HE \perp AB\). Vậy HE là đường cao của \(\triangle AHB\) ứng với cạnh huyền AB.

Góc \(\angle BAH\) (hay \(\angle EAH\)) là góc phụ với \(\hat{B}\), tức là \(\angle BAH = 90^\circ – \hat{B} = \hat{C}\).

Xét \(\triangle AEH\) vuông tại E:

\(HE = AH \cdot \sin(\angle EAH) = AH \cdot \sin(\hat{C})\)

\(AE = AH \cdot \cos(\angle EAH) = AH \cdot \cos(\hat{C})\)

Tương tự, xét \(\triangle AHC\) vuông tại H.

Trong \(\triangle AHC\), \(HF \perp AC\). Vậy HF là đường cao của \(\triangle AHC\) ứng với cạnh huyền AC.

Góc \(\angle CAH\) (hay \(\angle FAH\)) là góc phụ với \(\hat{C}\), tức là \(\angle CAH = 90^\circ – \hat{C} = \hat{B}\).

Xét \(\triangle AFH\) vuông tại F:

\(HF = AH \cdot \sin(\angle FAH) = AH \cdot \sin(\hat{B})\)

\(AF = AH \cdot \cos(\angle FAH) = AH \cdot \cos(\hat{B})\)

Bây giờ chúng ta cần các giá trị \(\sin B, \cos B, \sin C, \cos C\) từ \(\triangle ABC\).

\(\sin B = \frac{AC}{BC} = \frac{12}{13}\)

\(\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{13}\)

\(\sin C = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{13}\)

\(\cos C = \frac{AC}{BC} = \frac{12}{13}\)

Ta có \(AH = \frac{60}{13}\) (từ phần b)).

Tính HE:

\(HE = AH \cdot \sin C = \frac{60}{13} \cdot \frac{5}{13} = \frac{300}{169}\)

\(HE \approx 1.775\) cm.

Làm tròn đến hàng phần mười, ta được \(HE \approx 1.8\) cm.

Tính HF:

\(HF = AH \cdot \sin B = \frac{60}{13} \cdot \frac{12}{13} = \frac{720}{169}\)

\(HF \approx 4.260\) cm.

Làm tròn đến hàng phần mười, ta được \(HF \approx 4.3\) cm.

Tính diện tích AEHF:

Vì AEHF là hình chữ nhật, diện tích của nó là \(S_{AEHF} = HE \cdot HF\).

\(S_{AEHF} = \frac{300}{169} \cdot \frac{720}{169} = \frac{216000}{28561}\)

\(S_{AEHF} \approx 7.562\) cm\(^2\).

Làm tròn đến hàng phần mười, ta được \(S_{AEHF} \approx 7.6\) cm\(^2\).

Vậy:
\(HE \approx 1.8\) cm
\(HF \approx 4.3\) cm
\(S_{AEHF} \approx 7.6\) cm\(^2\)

Chúc các em học tốt môn Toán!