Chào em, rất vui được hướng dẫn em giải các bài toán này! Là giáo viên Toán lớp 8, thầy sẽ trình bày thật chi tiết và dễ hiểu để em nắm vững kiến thức nhé. Cố gắng lên!

***

Bài 1: Thu gọn, xác định hệ số, phần biến, bậc

a) \(A = \left(\frac{1}{2}xy^2\right)^2 – \left(\frac{3}{2}x^2y\right)\)

Bước 1: Thu gọn biểu thức

Để thu gọn biểu thức A, chúng ta sẽ thực hiện phép lũy thừa trước, sau đó xem xét các đơn thức đồng dạng (nếu có) để cộng trừ.

Ta có:
\( \left(\frac{1}{2}xy^2\right)^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \cdot x^2 \cdot (y^2)^2 = \frac{1}{4}x^2y^4 \)

Vậy, biểu thức A trở thành:
\( A = \frac{1}{4}x^2y^4 – \frac{3}{2}x^2y \)

Hai đơn thức \( \frac{1}{4}x^2y^4 \) và \( -\frac{3}{2}x^2y \) không đồng dạng vì có phần biến khác nhau (một bên là \(x^2y^4\), một bên là \(x^2y\)). Do đó, chúng ta không thể cộng hoặc trừ chúng được nữa. Đây chính là dạng thu gọn của A.

Bước 2: Xác định hệ số, phần biến và bậc cho từng đơn thức trong A

Biểu thức A là một đa thức gồm hai đơn thức.

• Đối với đơn thức thứ nhất: \( \frac{1}{4}x^2y^4 \)
  • Hệ số: \( \frac{1}{4} \)
  • Phần biến: \( x^2y^4 \)
  • Bậc: Tổng số mũ của các biến là \( 2 + 4 = 6 \)
• Đối với đơn thức thứ hai: \( -\frac{3}{2}x^2y \)
  • Hệ số: \( -\frac{3}{2} \)
  • Phần biến: \( x^2y \)
  • Bậc: Tổng số mũ của các biến là \( 2 + 1 = 3 \)

Bước 3: Xác định bậc của đa thức A

Bậc của đa thức là bậc cao nhất của các đơn thức thành phần sau khi đã thu gọn.

Trong trường hợp này, các bậc của các đơn thức là 6 và 3. Bậc cao nhất là 6.

Vậy, bậc của đa thức A là 6.

***

b) \(B = (axy)^2 \times bxy^2\)

Bước 1: Thu gọn biểu thức

Để thu gọn biểu thức B, chúng ta sẽ thực hiện phép lũy thừa trước, sau đó nhân các đơn thức với nhau.

Ta có:
\( (axy)^2 = a^2 \cdot x^2 \cdot y^2 = a^2x^2y^2 \)

Vậy, biểu thức B trở thành:
\( B = (a^2x^2y^2) \times (bxy^2) \)

Khi nhân hai đơn thức, ta nhân hệ số với hệ số, phần biến với phần biến (các biến cùng loại thì cộng số mũ):
\( B = (a^2 \cdot b) \cdot (x^2 \cdot x) \cdot (y^2 \cdot y^2) \)
\( B = a^2b \cdot x^{2+1} \cdot y^{2+2} \)
\( B = a^2bx^3y^4 \)

Đây chính là dạng thu gọn của B.

Bước 2: Xác định hệ số, phần biến và bậc của B

Biểu thức B sau khi thu gọn là một đơn thức.

• Hệ số: \( a^2b \) (Giả sử a, b là các hằng số)
• Phần biến: \( x^3y^4 \)
• Bậc: Tổng số mũ của các biến \(x\) và \(y\) là \( 3 + 4 = 7 \)

***

Bài 2: Thu gọn rồi tìm bậc, hệ số tự do

a) \(A = 2x^4 – x^3y + 6xy^2 + 2y^2 – (x^4 + 3x^3y – y^4 + 1)\)

Bước 1: Thu gọn biểu thức

Đầu tiên, ta bỏ dấu ngoặc. Lưu ý rằng có dấu trừ đứng trước dấu ngoặc, nên khi bỏ ngoặc, tất cả các dấu của các số hạng bên trong ngoặc sẽ đổi dấu.

\( A = 2x^4 – x^3y + 6xy^2 + 2y^2 \)- \( x^4 – 3x^3y + y^4 – 1 \)

Tiếp theo, ta nhóm các đơn thức đồng dạng lại với nhau và cộng trừ chúng:

• Nhóm các số hạng có \(x^4\):
  \( 2x^4 – x^4 = (2-1)x^4 = x^4 \)
• Nhóm các số hạng có \(x^3y\):
  \( -x^3y – 3x^3y = (-1-3)x^3y = -4x^3y \)
• Số hạng có \(xy^2\):
  \( +6xy^2 \) (không có số hạng nào đồng dạng)
• Số hạng có \(y^2\):
  \( +2y^2 \) (không có số hạng nào đồng dạng)
• Số hạng có \(y^4\):
  \( +y^4 \) (không có số hạng nào đồng dạng)
• Số hạng không chứa biến (hệ số tự do):
  \( -1 \) (không có số hạng nào đồng dạng)

Vậy, sau khi thu gọn, biểu thức A là:
\( A = x^4 – 4x^3y + 6xy^2 + 2y^2 + y^4 – 1 \)

Bước 2: Tìm bậc của đa thức A

Bậc của đa thức là bậc cao nhất của các đơn thức thành phần sau khi đã thu gọn.

Ta xác định bậc của từng đơn thức trong A:

• Bậc của \( x^4 \) là 4.
• Bậc của \( -4x^3y \) là \( 3+1 = 4 \).
• Bậc của \( 6xy^2 \) là \( 1+2 = 3 \).
• Bậc của \( 2y^2 \) là 2.
• Bậc của \( y^4 \) là 4.
• Bậc của \( -1 \) là 0 (đây là hằng số).

So sánh các bậc: 4, 4, 3, 2, 4, 0. Bậc cao nhất là 4.

Vậy, bậc của đa thức A là 4.

Bước 3: Tìm hệ số tự do của đa thức A

Hệ số tự do là số hạng không chứa biến trong đa thức sau khi đã thu gọn.

Trong biểu thức \( A = x^4 – 4x^3y + 6xy^2 + 2y^2 + y^4 – 1 \), số hạng không chứa biến là \( -1 \).

Vậy, hệ số tự do của đa thức A là \( -1 \).

***

Em thấy có khó khăn ở chỗ nào không? Nếu có bất kỳ câu hỏi nào, đừng ngần ngại hỏi thầy nhé!