Chào các em học sinh yêu quý,

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết một bài toán thú vị liên quan đến tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Đây là một kiến thức rất quan trọng trong chương trình Toán 12, đặc biệt khi các em khảo sát và vẽ đồ thị hàm số.

Đề bài: Cho hàm số \(y = \frac{4x+1}{mx-1}\). Tìm \)m` để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng (TCĐ).

Chúng ta hãy bắt đầu nhé!

Phân tích bài toán:

Để đồ thị của một hàm phân thức \(y = \frac{P(x)}{Q(x)}\) có tiệm cận đứng, hai điều kiện sau phải được thỏa mãn:

1. Mẫu số \(Q(x)\) phải bằng 0 tại một giá trị \(x_0\).
2. Tử số \(P(x)\) phải khác 0 tại giá trị \(x_0\) đó.

Nói cách khác, \(x_0\) là nghiệm của mẫu số nhưng không phải là nghiệm của tử số.

Ngược lại, để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng, sẽ có hai trường hợp xảy ra:

1. Mẫu số \(Q(x)\) không bao giờ bằng 0 với mọi giá trị của \(x\).
2. Nếu mẫu số \(Q(x)\) bằng 0 tại một giá trị \(x_0\), thì tử số \(P(x)\) cũng phải bằng 0 tại chính giá trị \(x_0\) đó. (Khi đó, \(x_0\) là nghiệm chung của cả tử và mẫu, dẫn đến việc có thể rút gọn phân thức, tạo ra một “lỗ hổng” trên đồ thị thay vì tiệm cận đứng).

Áp dụng vào hàm số đã cho: \(y = \frac{4x+1}{mx-1}\)

Tử số là \(P(x) = 4x+1\)

Mẫu số là \(Q(x) = mx-1\)

Bây giờ chúng ta sẽ xét từng trường hợp để tìm \(m\).

Trường hợp 1: Mẫu số \(Q(x)\) không bao giờ bằng 0.

Mẫu số \(Q(x) = mx-1\).

Nếu \(m=0\), thì \(Q(x) = 0 \cdot x – 1 = -1\).

Trong trường hợp này, mẫu số luôn bằng \(-1\), không bao giờ bằng 0.

Khi đó, hàm số trở thành \(y = \frac{4x+1}{-1} = -4x-1\).

Đây là một hàm số bậc nhất (là một đường thẳng), nên đồ thị của nó không có tiệm cận đứng.

Vậy, \(m=0\) là một giá trị thỏa mãn.

Trường hợp 2: Mẫu số \(Q(x)\) có thể bằng 0, nhưng tại giá trị \(x\) đó, tử số \(P(x)\) cũng bằng 0.

Điều này có nghĩa là tử số và mẫu số có nghiệm chung.

Để mẫu số \(Q(x) = mx-1 = 0\), ta cần có \(m \neq 0\). Nếu \(m=0\), chúng ta đã xét ở Trường hợp 1.

Với \(m \neq 0\), phương trình \(mx-1 = 0\) có nghiệm duy nhất là \(x = \frac{1}{m}\).

Để đồ thị không có TCĐ, giá trị \(x = \frac{1}{m}\) này cũng phải là nghiệm của tử số \(P(x)\).

Tức là, \(P\left(\frac{1}{m}\right) = 0\).

Thay \(x = \frac{1}{m}\) vào \(P(x) = 4x+1\), ta có:

\(4\left(\frac{1}{m}\right) + 1 = 0\)

\(\frac{4}{m} + 1 = 0\)

\(\frac{4}{m} = -1\)

\(4 = -m\)

\(m = -4\)

Hãy kiểm tra lại giá trị \(m = -4\):

Nếu \(m = -4\), hàm số trở thành \(y = \frac{4x+1}{-4x-1}\).

Ta nhận thấy rằng \(-4x-1 = -(4x+1)\).

Vậy, \(y = \frac{4x+1}{-(4x+1)}\).

Với điều kiện \(4x+1 \neq 0\) (tức là \(x \neq -\frac{1}{4}\)), ta có thể rút gọn biểu thức:

\(y = -1\).

Đồ thị của hàm số \(y = -1\) là một đường thẳng nằm ngang, hoàn toàn không có tiệm cận đứng. Tại \(x = -\frac{1}{4}\), đồ thị có một “lỗ hổng” (điểm gián đoạn có thể loại bỏ được) chứ không phải là tiệm cận đứng.

Vậy, \(m=-4\) cũng là một giá trị thỏa mãn.

Kết luận:

Để đồ thị hàm số \(y = \frac{4x+1}{mx-1}\) không có tiệm cận đứng, ta có hai giá trị của \(m\) là:

\(m = 0\) hoặc \(m = -4\).

Mong rằng qua bài giải chi tiết này, các em đã hiểu rõ hơn về cách xác định điều kiện để một hàm số không có tiệm cận đứng. Hãy luôn nhớ phân tích kỹ tử số và mẫu số để không bỏ sót trường hợp nào nhé!

Chúc các em học tốt!