Chào các em, hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau giải hai bài toán này nhé. Đây là những bài toán đòi hỏi sự biến đổi khéo léo và tư duy logic.

Bài 37. Tìm các số tự nhiên \(x,y\) thỏa mãn

\[
(1+x^2)(1+y^2)+4xy+2(x+y)(1+xy)=25.
\]

Lời giải:

Để giải bài toán này, chúng ta cần biến đổi vế trái của phương trình sao cho gọn gàng hơn. Quan sát các hạng tử, ta thấy có nhiều hạng tử liên quan đến \(x, y, xy\).

Trước hết, ta khai triển từng tích:

Khai triển hạng tử thứ nhất:

\[
(1+x^2)(1+y^2) = 1 \cdot 1 + 1 \cdot y^2 + x^2 \cdot 1 + x^2 \cdot y^2 = 1 + y^2 + x^2 + x^2y^2.
\]

Khai triển hạng tử thứ ba:

\[
2(x+y)(1+xy) = 2(x \cdot 1 + x \cdot xy + y \cdot 1 + y \cdot xy)
\]
\[
= 2(x + x^2y + y + xy^2)
\]
\[
= 2x + 2x^2y + 2y + 2xy^2.
\]

Thay các biểu thức đã khai triển vào phương trình ban đầu, ta được:

\[
1 + y^2 + x^2 + x^2y^2 + 4xy + 2x + 2x^2y + 2y + 2xy^2 = 25.
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ sắp xếp lại các hạng tử để tìm kiếm một dạng bình phương của một tổng. Hãy nhớ công thức \((a+b+c+d)^2\), hoặc đơn giản hơn là \((A+B)^2\). Ta thấy có hạng tử \(x^2y^2\), \(x^2\), \(y^2\), \(1\). Điều này gợi ý một bình phương của một tổng có chứa \(xy, x, y, 1\).

Ta thử xem xét biểu thức \((xy+x+y+1)^2\). Chúng ta biết rằng \(xy+x+y+1\) có thể phân tích thành \((x+1)(y+1)\). Vậy, ta sẽ khai triển \(((x+1)(y+1))^2\):

\[
((x+1)(y+1))^2 = (x+1)^2(y+1)^2.
\]

Khai triển \((x+1)^2 = x^2+2x+1\).

Khai triển \((y+1)^2 = y^2+2y+1\).

Vậy:

\[
(x+1)^2(y+1)^2 = (x^2+2x+1)(y^2+2y+1)
\]
\[
= x^2(y^2+2y+1) + 2x(y^2+2y+1) + 1(y^2+2y+1)
\]
\[
= x^2y^2 + 2x^2y + x^2 + 2xy^2 + 4xy + 2x + y^2 + 2y + 1.
\]

Bây giờ, hãy so sánh biểu thức này với biểu thức mà ta có được sau khi khai triển phương trình ban đầu:

Phương trình đã khai triển: \(1 + y^2 + x^2 + x^2y^2 + 4xy + 2x + 2x^2y + 2y + 2xy^2 = 25\).

Ta thấy rằng hai biểu thức này hoàn toàn giống nhau!

Vậy, phương trình ban đầu có thể viết lại là:

\[
(xy+x+y+1)^2 = 25.
\]

Vì \(x, y\) là các số tự nhiên, tức là \(x \ge 0\) và \(y \ge 0\), nên \(xy+x+y+1\) là một số không âm. Do đó:

\[
xy+x+y+1 = \sqrt{25}.
\]
\[
xy+x+y+1 = 5.
\]

Tiếp theo, ta sẽ phân tích vế trái thành nhân tử:

\[
x(y+1) + (y+1) = 5.
\]
\[
(x+1)(y+1) = 5.
\]

Vì \(x, y\) là các số tự nhiên, nên \(x \ge 0\) và \(y \ge 0\). Điều này suy ra \(x+1 \ge 1\) và \(y+1 \ge 1\).

Vì 5 là số nguyên tố, nên các cặp thừa số nguyên dương của 5 chỉ có thể là \((1, 5)\) hoặc \((5, 1)\).

Trường hợp 1:

\[
x+1 = 1 \implies x = 0.
\]
\[
y+1 = 5 \implies y = 4.
\]

Vậy một nghiệm là \((x,y) = (0,4)\).

Trường hợp 2:

\[
x+1 = 5 \implies x = 4.
\]
\[
y+1 = 1 \implies y = 0.
\]

Vậy một nghiệm là \((x,y) = (4,0)\).

Kiểm tra lại các nghiệm này với phương trình ban đầu:

Với \((x,y) = (0,4)\):

\[
(1+0^2)(1+4^2) + 4(0)(4) + 2(0+4)(1+0 \cdot 4) = (1)(1+16) + 0 + 2(4)(1) = 17 + 8 = 25.
\]

Đúng.

Với \((x,y) = (4,0)\):

\[
(1+4^2)(1+0^2) + 4(4)(0) + 2(4+0)(1+4 \cdot 0) = (1+16)(1) + 0 + 2(4)(1) = 17 + 8 = 25.
\]

Đúng.

Vậy, các cặp số tự nhiên \((x,y)\) thỏa mãn phương trình là \((0,4)\) và \((4,0)\).

---

Bài 38. Cho \(x,y,z\) là các số nguyên dương thỏa mãn

\[
x^2+y^2+z^2+2xy+2x(z-1)+2y(z+1)
\]
là số chính phương. Chứng minh \(x=y\).

Lời giải:

Gọi biểu thức đã cho là \(A\). Ta có:

\[
A = x^2+y^2+z^2+2xy+2x(z-1)+2y(z+1).
\]

Trước hết, chúng ta sẽ khai triển và rút gọn biểu thức \(A\):

\[
A = x^2+y^2+z^2+2xy+2xz-2x+2yz+2y.
\]

Hãy để ý các hạng tử \((x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz)\). Đây chính là khai triển của \((x+y+z)^2\).

Vậy, ta có thể viết lại biểu thức \(A\) như sau:

\[
A = (x+y+z)^2 – 2x + 2y.
\]

Theo đề bài, \(A\) là một số chính phương. Đặt \(A = k^2\) với \(k\) là một số nguyên dương (vì \(x,y,z\) là số nguyên dương nên \(A > 0\)).

Vậy ta có:

\[
k^2 = (x+y+z)^2 – 2x + 2y.
\]

Đặt \(S = x+y+z\). Vì \(x,y,z\) là các số nguyên dương, nên \(S \ge 1+1+1=3\).

Phương trình trở thành:

\[
k^2 = S^2 – 2x + 2y.
\]
\[
k^2 – S^2 = 2y – 2x.
\]
\[
k^2 – S^2 = 2(y-x).
\]

Chúng ta sẽ xét các trường hợp của \(y\) so với \(x\).

Trường hợp 1: \(y > x\).

Nếu \(y > x\), thì \(y-x\) là một số nguyên dương, nên \(2(y-x) > 0\).
Từ \(k^2 – S^2 = 2(y-x)\), suy ra \(k^2 – S^2 > 0\), tức là \(k^2 > S^2\).

Vì \(k\) và \(S\) đều là các số nguyên dương, \(k^2 > S^2\) có nghĩa là \(k \ge S+1\).

Từ đó, ta có \(k^2 \ge (S+1)^2\).
Thay vào phương trình \(k^2 = S^2 + 2(y-x)\):

\[
S^2 + 2(y-x) \ge (S+1)^2.
\]
\[
S^2 + 2(y-x) \ge S^2 + 2S + 1.
\]
\[
2(y-x) \ge 2S + 1.
\]

Thay \(S = x+y+z\):

\[
2(y-x) \ge 2(x+y+z) + 1.
\]
\[
2y – 2x \ge 2x + 2y + 2z + 1.
\]

Chuyển các hạng tử về một phía:

\[
0 \ge 4x + 2z + 1.
\]

Tuy nhiên, vì \(x, y, z\) là các số nguyên dương, nên \(x \ge 1\) và \(z \ge 1\).
Do đó \(4x \ge 4\) và \(2z \ge 2\).
Vậy \(4x+2z+1 \ge 4+2+1 = 7\).

Biểu thức \(0 \ge 4x + 2z + 1\) mâu thuẫn với \(4x+2z+1 \ge 7\).

Vậy, trường hợp \(y > x\) là không thể xảy ra.

Trường hợp 2: \(y < x\).

Nếu \(y < x\), thì \(y-x\) là một số nguyên âm, nên \(2(y-x) < 0\).
Từ \(k^2 – S^2 = 2(y-x)\), suy ra \(k^2 – S^2 < 0\), tức là \(k^2 < S^2\).

Vì \(k\) và \(S\) đều là các số nguyên dương, \(k^2 < S^2\) có nghĩa là \(k \le S-1\).

Từ đó, ta có \(k^2 \le (S-1)^2\).
Thay vào phương trình \(k^2 = S^2 + 2(y-x)\):

\[
S^2 + 2(y-x) \le (S-1)^2.
\]
\[
S^2 + 2(y-x) \le S^2 – 2S + 1.
\]
\[
2(y-x) \le -2S + 1.
\]

Thay \(S = x+y+z\):

\[
2(y-x) \le -2(x+y+z) + 1.
\]
\[
2y – 2x \le -2x – 2y – 2z + 1.
\]

Chuyển các hạng tử về một phía:

\[
4y + 2z \le 1.
\]

Tuy nhiên, vì \(x, y, z\) là các số nguyên dương, nên \(y \ge 1\) và \(z \ge 1\).
Do đó \(4y \ge 4\) và \(2z \ge 2\).
Vậy \(4y+2z \ge 4+2 = 6\).

Biểu thức \(4y+2z \le 1\) mâu thuẫn với \(4y+2z \ge 6\).

Vậy, trường hợp \(y < x\) cũng là không thể xảy ra.

Kết luận:

Cả hai trường hợp \(y > x\) và \(y < x\) đều dẫn đến mâu thuẫn.

Do đó, trường hợp duy nhất còn lại là \(y=x\).

Nếu \(y=x\), thì \(2(y-x) = 2(x-x) = 0\).
Khi đó \(k^2 – S^2 = 0 \implies k^2 = S^2\).

Vì \(k, S\) là các số nguyên dương nên \(k=S\). Điều này hoàn toàn thỏa mãn.

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \(x=y\).

Chúc các em học tốt!