Chào các em học sinh lớp 9 thân mến!

Hôm nay, chúng ta sẽ cùng nhau giải quyết ba bài tập về bất phương trình. Đây là những dạng bài rất quan trọng, đòi hỏi chúng ta phải nắm vững các quy tắc biến đổi và tính toán cẩn thận. Thầy sẽ hướng dẫn các em từng bước một thật chi tiết nhé!

—

Bài tập a: Giải bất phương trình \( \frac{(2x-1)^2}{8} < \frac{(3-x)^2}{2} \)

Lời giải chi tiết:

Để giải bất phương trình này, bước đầu tiên chúng ta cần làm là khử mẫu số để các biểu thức trở nên gọn gàng hơn.

Bước 1: Quy đồng mẫu số và khử mẫu.

Các mẫu số trong bất phương trình là 8 và 2. Bội chung nhỏ nhất của 8 và 2 là 8. Chúng ta sẽ nhân cả hai vế của bất phương trình với 8 (một số dương, nên chiều của bất phương trình không đổi).

\( 8 \cdot \frac{(2x-1)^2}{8} < 8 \cdot \frac{(3-x)^2}{2} \)
\( \Leftrightarrow (2x-1)^2 < 4(3-x)^2 \)

Bước 2: Triển khai các hằng đẳng thức và rút gọn.

Chúng ta sẽ áp dụng hằng đẳng thức \((A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2\) cho cả hai vế.

Vế trái: \((2x-1)^2 = (2x)^2 – 2 \cdot (2x) \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 – 4x + 1\)

Vế phải: \(4(3-x)^2 = 4(3^2 – 2 \cdot 3 \cdot x + x^2) = 4(9 – 6x + x^2) = 36 – 24x + 4x^2\)

Thay vào bất phương trình, ta có:

\( 4x^2 – 4x + 1 < 36 - 24x + 4x^2 \)

Bước 3: Chuyển các hạng tử về một vế và rút gọn.

Chúng ta sẽ chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái để vế phải bằng 0, sau đó thu gọn.

\( 4x^2 – 4x + 1 – (36 – 24x + 4x^2) < 0 \)
\( \Leftrightarrow 4x^2 – 4x + 1 – 36 + 24x – 4x^2 < 0 \)

Các em để ý, hạng tử \(4x^2\) và \(-4x^2\) sẽ triệt tiêu nhau.

\( \Leftrightarrow (-4x + 24x) + (1 – 36) < 0 \)
\( \Leftrightarrow 20x – 35 < 0 \)

Bước 4: Giải bất phương trình bậc nhất.

Bây giờ chúng ta có một bất phương trình bậc nhất đơn giản.

\( 20x < 35 \)

Chia cả hai vế cho 20 (một số dương, chiều bất phương trình không đổi).

\( x < \frac{35}{20} \)

Rút gọn phân số \( \frac{35}{20} \) bằng cách chia cả tử và mẫu cho 5.

\( x < \frac{7}{4} \)

Kết luận:

Tập nghiệm của bất phương trình là tất cả các giá trị của \(x\) nhỏ hơn \( \frac{7}{4} \).
Vậy \( S = \{ x \mid x < \frac{7}{4} \} \).

—

Bài tập b: Giải bất phương trình \( \frac{(x-2)^2}{5} + \frac{3(x-1)^2}{10} < \frac{x^2 +1}{2} \)

Lời giải chi tiết:

Tương tự như bài a, chúng ta sẽ bắt đầu bằng việc khử mẫu.

Bước 1: Quy đồng mẫu số và khử mẫu.

Các mẫu số là 5, 10, 2. Bội chung nhỏ nhất của 5, 10, 2 là 10. Chúng ta sẽ nhân tất cả các hạng tử của bất phương trình với 10.

\( 10 \cdot \frac{(x-2)^2}{5} + 10 \cdot \frac{3(x-1)^2}{10} < 10 \cdot \frac{x^2+1}{2} \)
\( \Leftrightarrow 2(x-2)^2 + 3(x-1)^2 < 5(x^2+1) \)

Bước 2: Triển khai các hằng đẳng thức và phân phối.

Áp dụng \((A-B)^2 = A^2 – 2AB + B^2\) và quy tắc phân phối.

Hạng tử thứ nhất: \(2(x-2)^2 = 2(x^2 – 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) = 2(x^2 – 4x + 4) = 2x^2 – 8x + 8\)

Hạng tử thứ hai: \(3(x-1)^2 = 3(x^2 – 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) = 3(x^2 – 2x + 1) = 3x^2 – 6x + 3\)

Vế phải: \(5(x^2+1) = 5x^2 + 5\)

Thay vào bất phương trình, ta có:

\( (2x^2 – 8x + 8) + (3x^2 – 6x + 3) < 5x^2 + 5 \)

Bước 3: Chuyển các hạng tử về một vế và rút gọn.

Gom gọn các hạng tử ở vế trái trước.

\( (2x^2 + 3x^2) + (-8x – 6x) + (8 + 3) < 5x^2 + 5 \)
\( \Leftrightarrow 5x^2 – 14x + 11 < 5x^2 + 5 \)

Bây giờ, chúng ta chuyển tất cả các hạng tử sang vế trái.

\( 5x^2 – 14x + 11 – 5x^2 – 5 < 0 \)

Hạng tử \(5x^2\) và \(-5x^2\) sẽ triệt tiêu nhau.

\( \Leftrightarrow -14x + (11 – 5) < 0 \)
\( \Leftrightarrow -14x + 6 < 0 \)

Bước 4: Giải bất phương trình bậc nhất.

\( -14x < -6 \)

Chia cả hai vế cho -14. Các em hãy nhớ: khi chia (hoặc nhân) cả hai vế của bất phương trình cho một số âm, chúng ta phải đổi chiều bất phương trình.

\( x > \frac{-6}{-14} \)

Rút gọn phân số \( \frac{-6}{-14} = \frac{6}{14} = \frac{3}{7} \).

\( x > \frac{3}{7} \)

Kết luận:

Tập nghiệm của bất phương trình là tất cả các giá trị của \(x\) lớn hơn \( \frac{3}{7} \).
Vậy \( S = \{ x \mid x > \frac{3}{7} \} \).

—

Bài tập c: Giải bất phương trình \( \frac{x(1,5x +1)}{6} – \frac{(2-x)^2}{4} \ge \frac{5x}{2} -2 \)

Lời giải chi tiết:

Đối với bài này, chúng ta có số thập phân. Hãy chuyển nó về dạng phân số để dễ tính toán hơn: \(1.5x = \frac{3}{2}x\).

Vậy hạng tử đầu tiên là \( \frac{x(\frac{3}{2}x + 1)}{6} = \frac{\frac{3}{2}x^2 + x}{6} \).

Bước 1: Khử mẫu số.

Các mẫu số là 6, 4, 2. Bội chung nhỏ nhất của 6, 4, 2 là 12. Chúng ta sẽ nhân tất cả các hạng tử của bất phương trình với 12.

\( 12 \cdot \frac{x(1.5x +1)}{6} – 12 \cdot \frac{(2-x)^2}{4} \ge 12 \cdot \frac{5x}{2} – 12 \cdot 2 \)
\( \Leftrightarrow 2x(1.5x + 1) – 3(2-x)^2 \ge 6(5x) – 24 \)

Bước 2: Triển khai và phân phối.

Hạng tử thứ nhất: \(2x(1.5x + 1) = 2x \cdot 1.5x + 2x \cdot 1 = 3x^2 + 2x\)

Hạng tử thứ hai: \(-3(2-x)^2 = -3(2^2 – 2 \cdot 2 \cdot x + x^2) = -3(4 – 4x + x^2) = -12 + 12x – 3x^2\)

Vế phải: \(6(5x) – 24 = 30x – 24\)

Thay vào bất phương trình, ta có:

\( (3x^2 + 2x) + (-12 + 12x – 3x^2) \ge 30x – 24 \)

Bước 3: Chuyển các hạng tử về một vế và rút gọn.

Gom gọn các hạng tử ở vế trái.

\( (3x^2 – 3x^2) + (2x + 12x) – 12 \ge 30x – 24 \)

Hạng tử \(3x^2\) và \(-3x^2\) triệt tiêu nhau.

\( \Leftrightarrow 14x – 12 \ge 30x – 24 \)

Chuyển các hạng tử chứa \(x\) về một vế và các hằng số về vế còn lại. Thầy sẽ chuyển \(x\) sang vế phải để hệ số của \(x\) dương, dễ tính toán hơn.

\( -12 + 24 \ge 30x – 14x \)
\( \Leftrightarrow 12 \ge 16x \)

Bước 4: Giải bất phương trình bậc nhất.

\( 12 \ge 16x \)

Chia cả hai vế cho 16 (một số dương, chiều bất phương trình không đổi).

\( \frac{12}{16} \ge x \)

Rút gọn phân số \( \frac{12}{16} \) bằng cách chia cả tử và mẫu cho 4.

\( \frac{3}{4} \ge x \)

Hay chúng ta có thể viết lại là \( x \le \frac{3}{4} \).

Kết luận:

Tập nghiệm của bất phương trình là tất cả các giá trị của \(x\) nhỏ hơn hoặc bằng \( \frac{3}{4} \).
Vậy \( S = \{ x \mid x \le \frac{3}{4} \} \).

—

Qua ba bài tập này, thầy hy vọng các em đã nắm vững hơn cách giải bất phương trình bậc hai quy về bậc nhất, đặc biệt là các bước khử mẫu, triển khai hằng đẳng thức và quy tắc đổi chiều bất phương trình khi nhân/chia với số âm. Hãy luôn cẩn thận trong từng bước tính toán nhé!